Différenciable à $x=a$ implique continue à $x=a$

Question

Considérez la fonction $$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x^2-4 & \text{ if }x\leq 2\\4x+3&\text{ if } x\gt 2\end{array}\right.$$

Cette fonction est différenciable à $x=2$ depuis $\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=4$ (EDIT: ce n'est en fait pas vrai mais c'est vrai que $\lim_{x\to 2^-}f^\prime (x)=4=\lim_{x\to 2^+}f^\prime(x)$); cependant, ce n'est pas continu à$x=2$.

Comment est-ce possible, ne différencie-t-il pas $x=a$ impliquent la continuité à $x=a$?

Cette question s'est posée lorsque j'ai essayé de répondre à la question de trouver $a$ et $b$ tel que la fonction $$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} ax^2-b & \text{ if }x\leq 2\\bx+3&\text{ if } x\gt 2\end{array}\right.$$

La solution est obtenue en trouvant des conditions sur $a$ et $b$tel qu'il est continu, et aussi tel que les dérivés gauche / droite existent. La question dérivée gauche / droite donne$4a=b$. Avec la condition de continuité, vous obtenez la condition supplémentaire que$4a-b=2b+3$, donnant une solution unique. Mais la différenciabilité n'implique-t-elle pas une continuité? Quel est le problème avec la résolution$4a=b$ comme dans le premier exemple ci-dessus?

Answer 1

Notez que $f(2)=0$ et que donc$$\lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2^+}\frac{4x+3}{x-2}=\infty.$$Alors, $f$n'est pas différenciable à$2$.

Answer 2

La fonction n'est pas différenciable à $2$ car $RHD$ est $$\lim_{h\to0^+}\frac{f(2+h)-f(2)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{[4(2+h)+3]-0}h\to\infty$$Notez que ce n'est que le LHD qui est $4$.

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Il est donné que la fonction est différentiable à $2$. $$\begin{align*}LHD&=\lim_{h\to0^+}\frac{f(2)-f(2-h)}h=\lim_{h\to0}\frac{4a-b-[a(2-h)^2-b]}h=4a\\RHD&=\lim_{h\to0^+}\frac{f(2+h)-f(2)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{2b+hb+3-[4a-b]}h\end{align*}$$

Notez que pour le $RHD$ pour exister, la limite doit avoir le $0/0$ forme puisque le dénominateur a tendance à $0$. Le numérateur aura tendance à$0$ iff $2b+3-[4a-b]=3b+3-4a=0$, vous donnant le $RHD=b$.

Equating the $RHD$ et $LHD$ donne $4a=b$ et l'existence de $RHD$ a besoin $4a=3b+3$ qui est aussi la condition que nous avons obtenue en analysant la continuité de $f$. Il n'est donc pas nécessaire de considérer la continuité séparément.