Difficulté à comprendre le truc unitaire de Weyl
Étant donné une représentation d'un groupe fini: $\rho : G \to \text{GL}(V)$, il existe une représentation unitaire $\tau$ qui est isomorphe à $\rho$. Je suis tombé sur le truc de Weyl, où vous redéfinissez le produit intérieur comme suit$$\langle v,w \rangle = \frac1{|G|}\sum_{g \in G} \langle \rho(g)v, \rho(g)w \rangle_0,$$
où $\langle\ ,\rangle_0$est le produit intérieur habituel. Je vois l'idée de cette astuce puisque ce nouveau produit intérieur est conservé sous$\rho$ c'est à dire $\langle v,w \rangle = \langle \rho(g')v,\rho(g')w \rangle$ pour tous $g'\in G$.
Je ne suis pas familier avec l'idée de changer la définition du produit intérieur pour atteindre l'unité. Si je comprends bien l'astuce de Weyl, les matrices de l'ensemble$\{\rho(g):g\in G\}$ et $\{\tau(g):g\in G\}$ sont en fait identiques, mais la définition interne du produit est ce qui rend le $\tau(g)$matrices unitaires? Existe-t-il un moyen de ramener cela à l'image habituelle où j'utilise le produit interne standard (et donc une définition fixe de l'unitarité) et les matrices des différentes représentations ne sont pas identiques?
Désolé s'il y a une certaine imprécision / inexactitude dans la question - je suis nouveau dans la théorie des groupes.
Réponses
Si vous voulez être technique, comme vous l'avez défini, $\rho(g)$Les s ne sont pas des matrices, ce sont des fonctions. Bien sûr, étant donné un choix de base ordonnée pour$V$, on peut écrire des vecteurs $v\in V$ comme vecteurs de coordonnées et transformations linéaires $A\in\mathrm{GL}(V)$comme matrices. Les matrices que ces fonctions sont représentées dépendent du choix de la base ordonnée (c'est-à-dire des coordonnées) que l'on choisit.
Je ne dirais pas qu'il existe un "produit interne habituel" sur un espace vectoriel arbitraire $V$. Il y a juste un produit interne arbitraire que l'on sélectionne ou suppose donné. Notez que même avoir un produit interne ne fournit pas suffisamment d'informations pour représenter les fonctions$\rho(g)$comme matrices; un produit intérieur ne prévoit pas une base commandée, ce qui est nécessaire pour cela.
Si vous supposez $\rho$ est une représentation matricielle dès le départ, c'est-à-dire si vous définissez $\rho:G\to GL_n (\mathbb{C})$ en tant que représentation de $G$ sur l'espace vectoriel $\mathbb{C}^n$, il n'y a aucune garantie que les matrices $\rho(g)$ sont unitaires, c'est-à-dire qu'il n'y a aucune garantie qu'ils conservent le produit intérieur standard sur $\mathbb{C}^n$,
$$ \langle x,y\rangle=\overline{x_1}y_1+\cdots+\overline{x_n}y_n. $$
Nous pouvons définir le $G$-produit intérieur moyenné $\langle x,y\rangle_G$ par l'astuce unitaire:
$$ \langle x,y\rangle_G = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \langle \rho(g)x,\rho(g)y\rangle. $$
ensuite $\rho(g)$Je ne conserve pas le produit intérieur standard $\langle x,y\rangle$, mais ils préservent $\langle x,y\rangle_G$, qui, une fois écrit, aura une formule différente de celle $\langle x,y\rangle$ Est-ce que.
Comme je l'ai dit, le nouveau produit intérieur $\langle x,y\rangle_G$ne fournit pas automatiquement un moyen de réécrire les opérateurs linéaires sous forme de matrices. Cependant, si l'on choisit arbitrairement une base unitaire ordonnée par rapport à$\langle x,y\rangle_G$, on peut réécrire les matrices $\rho(g)$ comme les matrices $\tau(g)$ utilisant une matrice de changement de base $M$. Explicitement, ces matrices sont données par$\tau(g)=M\rho(g)M^{-1}$, où les colonnes de $M$sont les vecteurs de la base unitaire que nous avons choisie. Celles-ci$\tau(g)$s seront des matrices unitaires et conserveront le produit intérieur standard d'origine $\langle x,y\rangle$.