Dimension de la fibre

Question

Laisser $f:X\rightarrow Y$ être un morphisme surjectif de schémas algébriques (sur un champ algébriquement clos $F$ de caractéristique $0$). Je pense que dans les bons cas ($X$ et $Y$ irréductible) nous avons que chaque pour chaque $y$ dans $Y$ la dimension de la fibre $f^{-1}(y)$ Est au moins $\dim X-\dim Y$. Que se passe-t-il si nous abandonnons l'hypothèse d'irréductibilité? Les contre-exemples de cette borne inférieure pour la ddimension de$f^{-1}(y)$?

Answer 1

Oui, si vous n'avez pas besoin $Y$ pour être irréductible, alors cette limite peut être violée.

L'exemple le moins cher est de prendre $f: X \rightarrow Y$ surjective de la dimension relative que vous aimez, plus grande que $0$, laisser $X'$ et $Y'$ être l'union disjointe de chacun d'eux avec un point, et définir $f'$ égaler $f$ sur $X$ et pour mapper le nouveau point sur $X$ au nouveau point sur $Y$.

Si vous avez besoin de connectivité, vous pouvez faire quelque chose de similaire, en attachant maintenant une ligne par $X$ à un moment donné $x$ et une autre ligne pour $Y$ à $f(x)$et étendre $f$ en mappant la ligne à la ligne de manière isomorphe.

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Avec un peu plus de tripotage, nous pouvons également préparer un exemple où $Y$ est irréductible, comme suit.

Laisser $Y=\mathbf A^1$, laisser $Z \subset \mathbf A^2$ être défini par $xy=1$, et laissez $q:Z \rightarrow Y$être la projection sur disons le premier facteur. Cette carte est un isomorphisme sur l'ensemble ouvert$Y \setminus \{0\}$.

Maintenant, laisse $W=Z \times \mathbf A^1 \subset \mathbf A^3$. Puis la carte de projection$W \rightarrow Y$ a des fibres unidimensionnelles sur chaque point $y \neq 0$, tandis que la fibre sur $0$ est vide.

Enfin laissez $L$ être l'axe $\{(t,0,0) \mid t \in k \} \subset \mathbf A^3$, et laissez $X=W \cup L \subset \mathbf A^3$. Puis la projection$X \rightarrow Y$ est surjectif, avec des fibres unidimensionnelles sur chaque $y \neq 0$, et fibre à 0 dimension sur $0 \in Y$.