Dimension et explosions

Question

Considérons une variété projective $X$, et laissez $Y$être une sous-variété fermée. Considérez l'explosion de$X$ en Y: on obtient une nouvelle variété $\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^{\dim Y}$, avec une carte birational $$b:\tilde{X}\to X$$ qui est un isomorphisme hors du locus exceptionnel $\tilde{Y}= b^{-1}(Y) \simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X})$.

Question: Est-il vrai que $\dim\tilde{X}=\dim X$?

Mon idée: l'explosion est une carte birationnelle, d'où un isomorphisme sur un sous-ensemble ouvert (dense); puisque la dimension d'une variété est définie comme le degré de transcendance du champ de fonction, qui est le même sur un ensemble ouvert, alors nous pouvons conclure.

Mon idée est-elle correcte? Je demande cela parce que, alors que j'en suis convaincu pour le cas de l'explosion d'un point, pour le cas général d'une sous-variété je ne suis pas sûr, parce que intuitivement il me semble que j'ajoute pas mal grand espace (je sais, ce n'est pas rigoureux, mais je viens de commencer à étudier ce sujet).

Answer 1

Il y a quelques choses à garder à l'esprit. La première est que je pense que vous voulez que la construction de l'explosion vive$X \times \mathbb P^{\operatorname{codim} Y}$; au moins cela fonctionne quand$Y$ est une intersection complète.

En général cependant, comme vous l'avez dit, le lieu exceptionnel survient lorsque la projectivisation du faisceau normal $\mathcal N_{Y|X}$. Ensemble$\dim X = n$ et $\dim Y = m$. Le rang du faisceau normal est toujours la codimension de$Y\subset X$, Par conséquent $\mathbb P(\mathcal N_{Y|X})$ a une dimension relative $n - m - 1$ (ce qui signifie que c'est la dimension des fibres de $ \mathbb P(\mathcal N_{Y|X}) \to Y$, la carte de structure du faisceau projectif). Ajoutant maintenant à cela la dimension de$Y$, on obtient la dimension du faisceau projectif sous forme de variété, à savoir $(n-m-1) + m = n-1$, montrant qu'il a codimension $1$ dans $X$. C'est pour cette raison que le lieu exceptionnel d'une explosion est généralement appelé le diviseur exceptionnel .