Distance à la «limite» d'un complexe polyédrique

Question

Supposons que j'ai un complexe polyédrique $\{P_1, \ldots, P_k\}$ et laissez

$$S := \bigcup_{i = 1}^k P_i$$

Je suis intéressé par une fonction qui mesure la distance d'un point $x \in S$à la «frontière» de mon complexe polyédrique. En d'autres termes, les faces dimensionnelles inférieures. Plus précisément, si$x \in \text{int}(P_i)$ pour certains $i$, alors ma fonction devrait renvoyer la distance de $x$ à la limite de $P_i$. Autrement,$x$ se trouve sur une face de dimension inférieure et la fonction doit retourner $0$.

Y a-t-il un nom pour cette fonction? A-t-il paru dans la littérature et déjà étudié? Merci d'avance!

Answer 1

Excellente question! Je ne sais pas s'il existe une définition de cela spécifiquement pour les polyèdres, mais voici ce que je sais d'une perspective d'analyse convexe:

La "fonction distance à l'ensemble $C$"est noté $d_C(x)=\inf_{c\in C}\|x-c\|$. Il y a de très bons résultats pour quand$C$est non vide, fermé et convexe. Cependant, dès que nous nous limitons à considérer le cas lorsque$C$ est la limite d'un autre ensemble, alors $C$est souvent non convexe. par exemple le fermé$\ell_1$ ball is est un polyèdre convexe, mais sa frontière est non convexe.