distance du problème défini

Question

$\Omega$ est un sous-ensemble ouvert de $\mathbb{R}^n$.laisser $A\subset \Omega$ être le sous-ensemble compact de $\mathbb{R}^n$.

Prouver la distance $d(\partial \Omega,A)>0$

Ma preuve, suppose $d(\partial \Omega,A) = \inf_{x\in A}d(\partial\Omega,x) = 0$, alors existe une séquence $(x_n)\in A$ tel que $d(\partial \Omega,x_n) <\frac{1}{n}$ .Maintenant depuis $A$ est borné, il existe une sous-séquence de convergence, $x_{n_k}\to x\in A$(depuis $A$ est fermé.)

Donc, par continuité de la fonction de distance, nous avons $d(\partial\Omega,x) = 0$ ce qui implique $x\in \partial\Omega$ (depuis $\partial \Omega$ ce qui est une contradiction puisqu'aucune intersection de $\partial\Omega$ et $A$ en raison de $\Omega$ est ouvert.

La question est que j'utilise l'hypothèse que $A$ est un ensemble borné pour construire la séquence, mais en fait cette condition bornée ne semble pas nécessaire, alors comment prouver si nous supposons seulement $A$ est un sous-ensemble fermé de $\mathbb{R}^n$ qui contient dans $\Omega$?

Answer 1

Ceci est faux si nous abandonnons la compacité: Soit $\Omega=\bigcup (2n,2n+1)$ et $A=\{2n+\frac 1 n: n \geq 1\}$. ensuite$A$ est un sous-ensemble fermé de l'ensemble ouvert $\Omega$ et $d(\partial \Omega, A) \leq |2n-(2n+\frac 1n) |=\frac 1n $ pour tous $,n$. Donc$d(\partial \Omega, A)=0$