distribution discrète alternée
Prenons la fonction de masse de probabilité $p = \{p_{1}, p_{2}, \dots \}$avec un support infini. D'après ce que je peux voir, toutes les probabilités discrètes prises en charge à l'infini dans wikipedia ont la propriété suivante: à partir d'un certain nombre$k$ on a: $$ p_{i+1} \leq p_{i} $$
La question: est-il possible d'avoir une distribution alternative discrète infiniment supportée, c'est-à-dire qu'il n'y a pas $k$ telle que l'égalité ci-dessus est vraie?
J'ai essayé de résoudre le problème en utilisant le test Ratio pour les séries convergentes.
Réponses
Essentiellement, ce que vous demandez est s'il est possible d'avoir une séquence non monotone de nombres positifs qui s'additionnent à $1$. On peut prendre la séquence$\left\{2^{-k}\right\}^{\infty}_{k=1}$ et inverser l'ordre de chaque paire de termes, c'est-à-dire
$$\left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{16},\frac{1}{8},...\right\}.$$
Cela ne change pas la somme, mais cela empêche la séquence de devenir monotone après un nombre fini de termes.
Oui, un exemple simple serait de ne répartir la masse que sur les nombres pairs.
Autrement dit, laissez $p_{2n} = 2^{-n}$ (pour $n \geq 1$) et $p_{2n+1} = 0$.