Distribution normale d'une variable aléatoire non négative

Question

Pourquoi des variables aléatoires comme les salaires, les cours des actions (qui ne peuvent jamais être inférieurs à zéro) ne peuvent pas avoir des distributions normales? Est-ce une limitation / hypothèse de variable aléatoire? Je sais que les variables aléatoires comme les prix des actions sont positivement biaisées, mais les limitations dues à des valeurs non négatives ne sont pas claires pour moi.

Référence: Introduction à l'économétrie: une approche moderne de Woolridge (chapitre 4)

Answer 1

La fonction de distribution de probabilité de la distribution normale est non nulle sur toute la ligne réelle (à partir de $-\infty$ à $\infty$) indépendamment de la moyenne et de l'écart type.

Cela signifie que, pour une variable aléatoire normalement distribuée $X$, nous avons $P(X<0) > 0 $.

Ainsi, puisque des variables aléatoires comme les salaires, les cours des actions ne peuvent jamais être inférieurs à zéro, ils ne peuvent pas suivre la distribution normale.

Néanmoins, vous pouvez avoir $P(X<0)$ très proche de $0$, si $X$est normalement distribué avec un rapport moyenne / écart-type suffisamment grand. Ensuite, même des variables aléatoires qui ne peuvent jamais être inférieures à zéro peuvent être très proches de la normale.

Pensez également au théorème central des limites. Lorsque vous l'appliquez à des variables aléatoires qui ne peuvent jamais être inférieures à zéro, vous verrez que leur moyenne (qui également ne peut jamais être inférieure à zéro) est asymptotiquement normale.