Doute concernant une déclaration vide dans l'analyse

Question

Je suis tombé sur cette déclaration vide que: l'ensemble vide est fermé parce qu'il est à la fois ouvert et fermé sous vide. Comme$\mathrm{int}\,\emptyset=\emptyset$ et $ \emptyset'=\emptyset$cela signifie que l'ensemble intérieur et l'ensemble des points limites de l'ensemble vide sont vides, et en utilisant une logique vide, il n'a rien à contenir car il n'y a rien pour commencer, donc l'ensemble vide contient tous ses points intérieurs et limites. Alors clopen.

Maintenant, je sais qu'un ensemble est fermé s'il contient tous ses points limites ie $E' \subset E$, et ouvrez-le s'il contient tous ses points intérieurs. Considérant maintenant l'ensemble des entiers$\mathbb{Z}$ c'est facile de voir ça $\mathbb{Z}$ n'a pas de points limites donc $\mathbb{Z}'=\emptyset$, et de manière vide, il contient tous ses points limites, donc il est fermé. Mais aussi$\mathrm{int}\,\mathbb{Z}=\emptyset$, il doit donc contenir tout son point intérieur (sous vide), ce qui implique $\mathbb{Z}$ est ouvert dans $\mathbb{R}$, ce qui n'est pas correct d'après les arguments complémentaires.

Je ne sais pas où je vais mal? est-ce la définition d'ensembles ouverts ou fermés ou l'énoncé vide?

Answer 1

Vous vous trompez ici:

et ouvert s'il contient tous ses points intérieurs

Symboliquement tu as écrit $int(U)\subseteq U$ce qui est toujours vrai pour tout sous-ensemble, ouvert ou non. C'est l'inverse: un sous-ensemble est ouvert si chaque point est un point intérieur, ie$U\subseteq int(U)$.

Voilà pourquoi $\mathbb{Z}$ n'est pas ouvert: aucun de ses points n'est un point intérieur, puisque l'intérieur est vide comme vous l'avez bien noté.

Et donc cela n'a aucun rapport avec la vérité vide, vous venez de mélanger la description des sous-ensembles ouverts.