Équation pour un locus

Question

Je me demande comment trouver l'équation qui définit ce lieu. En bref, le lieu est tous les points à la même distance du point le plus proche sur$e^x - 1$ comme $(0,1)$. La configuration dans GeoGebra me permet également de changer facilement la fonction dont il dépend, ce qui produit des résultats très intéressants pour presque toutes les fonctions (pour une ligne droite, cela produit une parabole).

Answer 1

La distance de tout point $P(x, y)$ sur le lieu requis au point fixe $Q(0, 1)$ est donné par $$PQ^2=x^2+(y-1)^2$$ La distance du même point $P(x, y)$ vers un point $T$ sur la courbe donnée $(t, e^t-1)$ est donné par $$s=PT^2=(x-t)^2+z^2$$ où $z=y-e^t+1$ Par conséquent $y-1=z+e^t-2$.

Le point $T$ est le plus proche de $P$ quand $s$ est un minimum de wrt $t$ : $$\frac{ds}{dt}=2(x-t)(-1)+2z(-e^t)=0$$ $$x=t-ze^t$$

Le lieu requis est défini par $PQ^2=PT^2$ : $$x^2+(y-1)^2=(x-t)^2+z^2$$

Remplacer pour éliminer $x, y$ laissant une équation dans $z, t$ : $$(t-ze^t)^2+(z+e^t-2)^2=z^2e^{2t}+z^2$$ $$t^2-2tze^t+e^{2t}+4-2(ze^t-2z-2e^t)=0$$ $$z=\frac{t^2+(e^t-2)^2}{2[(t-1)e^t+2]}$$

Les coordonnées des points sur le lieu peuvent être obtenues en termes de paramètres $t$ et $z(t)$ :

$$x=t-ze^t, y=z+e^t-1$$