Équations de grille 4x4 version 2

Question

J'ai décidé d'en faire un autre, car ils sont amusants et celui-ci est assez différent.

Pouvez-vous placer tous les nombres de 1 à 16 dans des cellules, de sorte que les 8 équations suivantes tiennent? Notez que l'opérateur "/" ne fonctionne que pour la division sans reste, c'est-à-dire que vous pouvez avoir "8/4" mais pas "8/3". Comme d'habitude, la multiplication et la division sont effectuées avant l'addition et la soustraction. Bonne chance!

Answer 1

Solution:

$\begin{matrix}1&+&9&+&5&=&15\\\times&&-&&+&&-\\10&+&12&/&2&=&16\\+&&/&&\times&&/\\4&\times&6&/&3&=&8\\=&&=&&=&&=\\14&/&7&+&11&=&13\end{matrix}$

Raisonnement:

$\begin{matrix}\diamond\ast&+&\diamond&+&\diamond&=& \\\times&&-&&+&&-\\\ast&+& &/&\bigcirc&=& \\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&\bigcirc&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\ &/&\bigcirc&+& &=& \end{matrix}$

Nous notons que tous les dénominateurs doivent être $\le8$ ("petit", marqué $\bigcirc$) comme doit être a2 (en coordonnées en damier) car $b2/c2 \ge 2$ et au moins deux de ceux marqués $\diamond$ et au moins un de ceux marqués $\ast$. Parce que seuls 8 petits nombres sont disponibles, a4 doit être petit et l'un de b4, c4. Tous les autres doivent être$>8$ ("grand", marqué $\Box$):

$\begin{matrix}\bigcirc&+&\Box\bigcirc&+&\Box\bigcirc&=&\Box\\\times&&-&&+&&-\\\Box&+&\Box&/&\bigcirc&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&\bigcirc&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\\Box&/&\bigcirc&+&\Box&=&\Box\end{matrix}$


et on voit que a4 doit être $1$

Observe ceci $d4 = d3/d2 + a1/b1 + c2\times c3 + c4 \ge 2 + 2 + 2\times 3 + c4$ Par conséquent, c4 doit être petit et b4 grand.

$\begin{matrix}1&+&\Box&+&\bigcirc&=&13\ldots 16\\\times&&-&&+&&-\\\Box&+&\Box&/&\bigcirc&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&\bigcirc&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\\Box&/&\bigcirc&+&9\ldots 12&=&11\ldots 14\end{matrix}$

Ensuite, nous voyons que $2$ doit être en c2 ou en c3:

$\begin{matrix}1&+&9\ldots 11&+&3\ldots 6&=&14\ldots 16\\\times&&-&&+&&-\\\Box&+&\Box&/&2\ldots 4&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&2\ldots 4&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\\Box&/&\bigcirc&+&10\ldots 12&=&12\ldots 14\end{matrix}$

Nous avons presque terminé! Observez que dans les produits$a2\times b2 = c2\times d2$ les nombres premiers $5$ et $7$ ne peut pas se produire car ils ne sont disponibles qu'une seule fois.

$\begin{matrix}1&+&9\ldots 10&+&5&=&15\ldots 16\\\times&&-&&+&&-\\\Box&+&\Box&/&2\ldots 3&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&2\ldots 3&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\14&/&7&+&11&=&13\end{matrix}$

On peut terminer en remplissant la colonne a,

$\begin{matrix}1&+&9&+&5&=&15\\\times&&-&&+&&-\\10&+&\Box&/&2\ldots 3&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\4&\times&\bigcirc&/&2\ldots 3&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\14&/&7&+&11&=&13\end{matrix}$

rangée 3 et, enfin, rangée 2.

Answer 2

Soit les chiffres a1, a2, a3,… d4, en utilisant la notation d'échecs algébrique standard (c.-à-d. Lettres = colonnes, nombres = lignes, a1 = en bas à gauche).

Définissez un chiffre bas = 1-8, chiffre haut = 9-16. Les cellules b1, a2, b2, c2, d2, c3 sont toutes faibles. La rangée du haut contient deux nombres faibles sinon d4> 16. Cela représente les huit nombres faibles et donc a3 est élevé. Ergo, a4 = 1 pour éviter a1> 16. Considérons maintenant la chaîne c4 <c1 <d1 <d4. Les différences minimales sont c1-c4> = 6, d1-c1> = 2, d4-d1> = 2. Nous trouvons bientôt que a2, c2, c3 doit être une permutation de 2,3,4. Par conséquent, c4 est au moins 5 et d4 est au moins 15.

Puisque 13 est premier, il doit entrer dans a3 ou d1. Mais si a3 = 13 alors a1, d3, d4 sont tous 15 ou plus, contradiction. Donc d1 = 13, c1 = 11, c4 = 5. Nous avons une paire 2,3 dans c2, c3 donc a2 = 4. Donc d2 = 8 et d3 = 16. Puisque b2 / c2 = 2 nous avons 4 * 6/3 = 8 dans la rangée 3 et le reste est facile