Est-ce que $\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$ converger?
Considérez la somme suivante (où $\Im(z)$ désigne la partie imaginaire de $z$)
$$\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$$
C'est à dire;
$$\Im(\lim_{n\to\infty}a_n)$$ $$a_1=e^i,\ \ \ a_{n+1}=a_n+e^{a_n}\ \ \ \forall n\geq1$$
J'ai rédigé du code python générique ( Try It Online ) et j'ai été surpris de voir son apparente convergence vers$\approx9.424$
Je suis particulièrement concerné par la partie imaginaire car la partie réelle semble diverger logarithmiquement.
Cela converge-t-il? Si tel est le cas, existe-t-il d'autres expressions pour la constante?
Peut-être que le test de Dirichlet pourrait être utile, même si je ne sais pas comment procéder.
Réponses
Après quelques itérations, nous avons atteint $$a_n = -b_n + i(3\pi + \varepsilon_n)$$ avec $b_n > 0$ et $\lvert \varepsilon_n\rvert < \frac{\pi}{2}$. ensuite$$e^{a_n} = -e^{-b_n}\cdot e^{i\varepsilon_n} = -\frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} - i\frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ et $$a_{n+1} = a_n + e^{a_n} = -\biggl(b_n + \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr) + i\biggl(3\pi + \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr)\,.$$ Donc $b_{n+1} > b_n$ et $$\varepsilon_{n+1} = \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ a le même signe et une magnitude plus petite que $\varepsilon_n$. (Ici nous avons$\varepsilon_n > 0$, mais pour d'autres valeurs de départ, on peut atteindre des parties imaginaires légèrement plus petites qu'un multiple impair de $\pi$.)
Il s'ensuit que $\varepsilon_n$ converge, et il reste à voir que la limite est $0$. Supposons que la limite soit$\delta \neq 0$. Alors pour tous$n$ nous avons $$\lvert \varepsilon_n - \varepsilon_{n+1}\rvert = \frac{\sin \lvert\varepsilon_n\rvert}{e^{b_n}} \geqslant \frac{\sin \lvert\delta\rvert}{e^{b_n}}$$ et il s'ensuit que $$\sum_{n = N}^{\infty} e^{-b_n} < +\infty\,. \tag{$\ ast$}$$ Depuis $$\lvert b_n - b_{n+1}\rvert = \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} \leqslant e^{-b_n}$$ il s'ensuit en outre que $b_n$ converge, en particulier $b_n < B$ pour tous $n$ et certaines $B$, mais cela contredit $(\ast)$. Par conséquent$$\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0$$ suit.
Pas une preuve complète mais une forte indication que
$$\lim_{n\to\infty}\Im(a_n)=3\pi$$
Si la limite converge, alors
$$\lim_{n\to\infty}(\Im(a_n)-\Im(a_{n+1}))=0$$ Ainsi, la solution doit satisfaire
$$\Im(z)=\Im(z+e^{iz})$$ $$\implies\Im(z)=\Im(z)+\Im(e^{iz})$$ $$\implies\Im(e^{iz})=0$$ $$\implies\sin(z)=0$$ $$\implies z=\pi n\ \ \ \forall n\in\mathbb{Z}$$
Considérant l'approche des estimations numériques $3\pi$(comme le soulignent Stinking Bishop , JG et Gottfried Helms ), soit la série converge vers$3\pi$, ou oscille en quelque sorte très lentement entre des points fixes attrayants de la forme $\pi n$. Si cela est vrai, alors il est curieux que malgré l'initialisation de$a_1=e^i$, qui est beaucoup plus proche de $\pi n$ pour $n\in\{-1,0,1,2\}$, il préfère converger initialement vers $3\pi$.
Nous avons, fondamentalement,
$S_{n+1}=S_n+\exp(S_n)$
Rendre $S_n=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)$. ensuite
$S_{n+1}=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n))$
$=(\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n))+i((k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)))$
Après quoi
$\alpha_{n+1}=\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n)$
$\epsilon_{n+1}=\epsilon_n+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)$
Ce qui se passe ensuite dépend de la parité de $k$. Si$k$ est pair, alors dans la limite des petits $|\epsilon_n|$ nous rendons $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to 1$ et $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to \epsilon_n$, Donc:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n+\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1+\exp(\alpha_n))$
Cela représente une instabilité car le $\epsilon_n$ terme est multiplié par un facteur supérieur à $1$, et pire, ce facteur augmente parce que $\alpha_n$augmente. Nous fuyons, à plus d'un titre, cette possibilité.
Si $k$ est étrange, alors $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to -1$ et $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to -\epsilon_n$, puis:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n-\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1-\exp(\alpha_n))$
Maintenant le $\epsilon$ le paramètre est multiplié par un nombre positif inférieur à $1$, permettant une condition stable. Également$\alpha$le paramètre diminue de manière logarithmique; solution de l'équation de différence pour$\alpha_n$ donne $\alpha_n\sim -\ln n$. Ainsi, les points fixes stables sont spécifiquement des multiples impairs de$\pi$. On s'attendrait à une convergence vers un multiple impair plutôt que pair de$\pi$.
Il y a un petit problème dans ce résultat. Car$\alpha$ diminue, le multiplicateur sur $\epsilon$ s'approche $1$, donc la convergence de $\epsilon$à zéro ralentit. Cela peut expliquer pourquoi les résultats numériques ne convergent que lentement vers le point fixe stable à$3\pi$.
Mise à jour: probablement la "simple relation inverse" (après l'équation 2) est désordonnée. Je ne sais pas si je peux réparer ça
Remarque: ce n'est pas une réponse, mais un entraînement qui pourrait éclairer davantage l'ensemble du problème
Comme Oscar Lanzi l'a fait remarquer dans son commentaire ("essayez de définir le terme initial ..."), j'ai examiné le comportement de l'itération en commençant à différents points de départ.
Cela conduit à la question de la fonction inverse et d'essayer, si on peut aller en arrière à partir$z_0=\exp(î)$ et voir, quelle valeur $z_{-1}$ itérerait pour $z_0$ etc.
J'ai trouvé la fonction inverse suivante, qui nécessite une paire de paramètres à chaque étape.
Laisser $$ f(z) = z + \exp(z) \tag 1$$ alors la fonction inverse pourrait être écrite comme $$ g(z,b,k) = \log( \text{LambertW}_b(\exp(z)) + k \cdot 2 \pi î \\ k,b \in \mathbb Z \tag 2$$ [Note: l' LambertW () branchindex$b$ est selon une implémentation utilisateur dans Pari / GP, il pourrait être d'un autre signe ou bien différent dans M'ma ou Maple et al.]
Ensuite, si nous avons $ z_1 = g(z_2, b,k)$ avec certains donnés $b,k$, alors nous avons la simple relation inverse $ z_2 = f( z_1)$ .
Mise à jour: cela ne semble vrai que pour les sous-ensembles de $(b,k)$ et $b$ et $k$ avoir une relation linéaire et qui dépend également de $z_2$. C'est faux en tant qu'affirmation générale. L'exemple de données actuel (voir ci-dessous) et l'image sont cependant corrects.
Malheureusement, l'inverse n'est pas si simple. Si nous avons$ z_2 = f(z_1)$ avec un donné $z_1$ puis les valeurs appropriées pour $b$ et $k$ dans $z_1=g(z_2,b=?,k=?)$ doit être déterminé empiriquement .
Il semble, dans l'itération à l'infini, le$b$-paramètre pour le LambertW () régit la partie réelle du convergent et le$k$le paramètre de branche pour le log () régit la partie imaginaire du convergent
Par exemple, pour trouver un précédent possible pour$z_0=\exp(î)$ nous pouvons choisir le paramètre le plus simple pour $g()$ à savoir $b=0$ et $k=0$ et obtenir $$ z_{-1} = g(\exp(î),0,0) = -0.194208607165 + 0.469149782638 î \tag {3.1}$$ Vérifie ça: $$ f(z_{-1}) = z_0 = 0.540302305868 + 0.841470984808 î = \exp(î) \tag {3.2} $$
Ici, nous semblons avoir cela $\Re (f(g(z_0,b,k)))=\Re( z_0)$ indépendamment des valeurs de $(b,k)$ et seule la partie imaginaire change par étapes de $2 \pi$.
Mais en évaluant à l'envers,$ g(f(z_0),b,k) = z_0$ n'est correct qu'avec des valeurs uniques dans $b$ et en $k$.
Je suppose que pour les itérations d'index, disons $i=20$, lorsque la composante imaginaire arrive dans la zone de convergence et que l'évolution de la composante réelle devient régulière, les paramètres des pas en arrière $z_{19}=g(z_{20},b_{20},k_{20})$ devenir constant, et en fait, en arrière vers $z_7$ nous avons toujours $ z_{i-1} =g(z_{i},0,2)$.
Maintenant, si nous partons de $z_7$ vers l'arrière plus loin avec les mêmes paramètres $(b,k)=(0,2)$à la place ...
... nous n'arrivons pas à notre$z_0 = \exp(î)$ mais à une autre valeur.
Voyons donc de quels paramètres nous avons réellement besoin lorsque nous revenons $z_7$ à $z_6$ et à $z_0$.
Voir les itérations$z_0$ à $z_9$ et les paramètres $b_i$ et $k_i$ pour chaque itération:
z b k
--------------------------------------+--+--+----------------------
z_0: 0.540302305868+0.841470984808*I 0 0 ---> z_1
z_1: 1.68413794966+2.12135398618*I 1 0 ---> z_2
z_2: -1.13455960996+6.71301817364*I 0 1
z_3: -0.842246816784+6.84701983939*I 0 1
z_4: -0.478178799834+7.07722157180*I 0 1
z_5: -0.0436380449935+7.51933514381*I 0 1
z_6: 0.270773188633+8.42353070970*I 1 1 ---> z_7
z_7: -0.436174626083+9.52756299919*I 0 2 ---> z_8 from here parameters
z_8: -1.07926736567+9.46122892125*I 0 2 are always (0,2)
À partir de $z_7$ nous ferions $z_6=g(z_7,1,1)$, $z_5=g(z_6,0,1)$, $z_4=g(z_5,0,1)$, ...
L'aspect le plus intéressant est ici que nous pouvons à nouveau itérer à l'infini dans le sens inverse (en utilisant $g(,0,2)$) avec cette paire constante de paramètres $(0,2)$ et itérer apparemment vers $- \infty + 4 \pi î$
Voici le tracé des orbites partielles de $30$ marche sur $f()$ (couleur: bleu) à savoir $z_0$ à $z_{30}$ puis les orbites partielles de $63$ marche sur $g( ,0,2)$ (couleur: or) à savoir $z_{30}$ à $z_{-32}$.
