Est-il possible de «compacter» cette notation?

Question

J'ai besoin d'aide avec les notations. Supposons que l'inégalité $$ 0\leq s_i\leq p_i p_j^{\ast} \quad\mbox{ for } i, j =1, 2 \mbox{ and } i\neq j$$ tient, où $p^{\ast}$désignent l'exposant critique de Sobolev. J'ai besoin d'écrire en "forme compacte" (je veux dire comme dans l'inégalité ci-dessus) les inégalités suivantes $$ 1<s_3<p_1^{\ast}, \quad 1<\frac{s_1 s_3}{s_3-1}<p_2^{\ast}, \quad 1< s_4 <p_2^{\ast},\quad 1<\frac{s_2 s_4}{s_4-1}<p_1^{\ast}.$$

Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît?

Merci d'avance!

EDIT: pour $i, j = 1, 2, 3$ avec $i\neq j$ c'est $0\leq s_i\leq p_i\min(p_j^{\ast})$, J'ai besoin de compacter l'expression: $$1 <s_4 <p_1^{\ast}, \quad 1< s_5<p_2^{\ast}, \quad 1< s_6 <p_3^{\ast}$$ et $$1<\frac{s_1 s_4}{s_4 -1}<\min(p_2^{\ast}, p_3^{\ast},\quad 1<\frac{s_2 s_5}{s_5-1}<\min(p_1^{\ast}, p_3^{\ast}), \quad 1<\frac{s_3 s_6}{s_6 -1}<\min(p_1^{\ast}, p_2^{\ast}).$$

Answer 1

En supposant que la relation suivante est valable pour $j=4$:

\ begin {align *} & 1 <s_5 <p_1 ^ {\ ast}, \ quad 1 <s_6 <p_2 ^ {\ ast}, \ quad 1 <s_7 <p_3 ^ {\ ast}, \ quad 1 <s_8 <p_4 ^ {\ ast} \\ \\ & 1 <\ frac {s_1 s_5} {s_5 -1} <\ min \ {p_2 ^ {\ ast}, p_3 ^ {\ ast}, p_4 ^ {\ ast} \}, \ quad 1 <\ frac {s_2 s_6} {s_6-1} <\ min \ {p_1 ^ {\ ast}, p_3 ^ {\ ast}, p_4 ^ {\ ast} \} \\ \\ & 1 <\ frac {s_3 s_7} {s_7-1} <\ min \ {p_1 ^ {\ ast}, p_2 ^ {\ ast}, p_4 ^ {\ ast} \}, \ quad 1 <\ frac {s_4 s_8} {s_8- 1} <\ min \ {p_1 ^ {\ ast}, p_2 ^ {\ ast}, p_3 ^ {\ ast} \} \\ \ end {align *}

Nous pourrions conclure pour le général $j\geq1$: \ begin {align *} & 1 <s_ {j + 1} <p_1 ^ {\ ast}, \ quad 1 <s_ {j + 2} <p_2 ^ {\ ast}, \ quad \ cdots, \ quad 1 < s_ {2j} <p_j ^ {\ ast} \\ \\ & 1 <\ frac {s_1 s_ {j + 1}} {s_ {j + 1} -1} <\ min \ {p_2 ^ {\ ast}, p_3 ^ {\ ast}, \ ldots, p_j ^ {\ ast} \}, \ quad 1 <\ frac {s_2 s_ {j + 2}} {s_ {j + 2} -1} <\ min \ {p_1 ^ {\ ast}, p_3 ^ {\ ast}, \ ldots, p_j ^ {\ ast} \} \\ & \ qquad \ qquad \ cdots \\ & 1 <\ frac {s_j s_ {2j}} {s_ {2j } -1} <\ min \ {p_1 ^ {\ ast}, p_2 ^ {\ ast}, \ ldots, p_ {j-1} ^ {\ ast} \} \\ \ end {align *}

ou plus compact pour le général $j\geq 1$ et $1\leq k\leq j$:

\ begin {align *} & \ color {blue} {1 <s_ {j + k} <p_k ^ {\ ast},} \\ \\ & \ color {blue} {1 <\ frac {s_k s_ {j + k}} {s_ {j + k} -1} <\ min \ {p_1 ^ {\ ast}, \ ldots, p_j ^ {\ ast} \} \ setminus \ {p_k ^ {\ ast} \}} \ end {align *}