Est-il vrai que $V^{\,T}SV=\Lambda$?
Rapide
Une matrice symétrique $S=S^T$ a des vecteurs propres orthonormés $\vec{v}_1$ à $\vec{v}_n$. Puis n'importe quel vecteur$\vec{x}$ peut être écrit comme une combinaison $\vec{x} = c_1 \vec{v}_1+ \cdots + c_n \vec{x}_n$. Expliquez cette formule:$\vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \lambda_1 c_1^2+ \cdots + \lambda_nc_n^2$
Mon explication:
$\vec{x}$ peut être écrit comme $$ \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_n \end{bmatrix}_{nxn} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}_{\,nx1} = V\vec{c} $$ Considérer, $$ \vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \vec{c}^{\,T}(V^{\,T}SV)\vec{c} = \vec{c}^{\,T}\Lambda\vec{c} = \lambda_1 c_1^2 + \cdots + \lambda c_n^2 $$ On voit que les vecteurs propres orthonormés de $S$multipliez pour créer la matrice de valeur propre diagonale. On aboutit alors au produit interne des pondérations vectorielles, le$c^2$ termes, mis à l’échelle de leurs valeurs propres respectives.
Je me sens plutôt bien dans mon explication. Juste la partie que je ne comprends pas complètement est pourquoi$V^{\,T}SV=\Lambda$... Il me semble que cela devrait égaler quelque chose de plus dans le sens de $\Lambda^T \Lambda$ puisque chaque vecteur propre aurait dû être mis à l'échelle lorsqu'il était multiplié à droite car $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.
Est-il vrai que $V^{\,T}SV=\Lambda$? Si c'est le cas, un peu d'aide pour voir pourquoi serait apprécié.
Une façon dont j'y ai pensé.
$$ V^TSV = V^T(SV) = V^T \begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v_1} & ... & \lambda_n \vec{v_n} \end{bmatrix} $$ La façon de penser $SV$ est-ce que chaque colonne de $V$ est un vecteur propre qui multiplie les colonnes de $S$. On sait déjà à quoi égalera cette combinaison par la définition d'un vecteur propre$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. Enfin, en multipliant à droite par$V^T$ souviens-toi de ça $\vec{v}_i^{\,T}\vec{v_j}=1$ est $1$ quand $i=j$ et $0$ quand $i\neq j$ par définition d'être des vecteurs orthonormés.
Clairement nous nous retrouvons avec $\Lambda$ comme résultat.
Réponses
Oui, c'est vrai que $V^TSV = \Lambda$. Il existe plusieurs façons de comprendre pourquoi cela est vrai; une façon est de comparer ce que chaque matrice "fait" à un vecteur colonne.
Laisser $\vec c$ désigne le vecteur de colonne $\vec c = (c_1,\dots,c_n)$. Vérifier que$\Lambda \vec c = (\lambda_1 c_1,\dots,\lambda_n c_n)$.
Maintenant, nous considérons le produit $V^TSV \vec c = V^T(S(V\vec c))$. Nous trouvons que$$ V \vec c = \pmatrix{\vec v_1 & \cdots & \vec v_n} \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n. $$ Pour dire les choses autrement, le rôle du $V$ consiste à interpréter les entrées de $\vec c$ comme les coefficients des vecteurs $\vec v_1,\dots,\vec v_n$. De là, nous voyons cela parce que chacun$v_i$ est un vecteur propre de $S$, nous avons $$ S(V\vec c) = S(c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n) = c_1 \lambda_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \lambda_n \vec v_n. $$ Enfin, notez que (parce que $V$ est orthogonal) $V^T$ est l'inverse de $V$. Alors, tout comme$V$ interprète le "vecteur d'entrée" comme une liste de coefficients pour le $v_i$, $V^T$ prend un vecteur et nous donne la liste des coefficients pour le $v_i$comme sortie. C'est,$$ V^T(S(V\vec c)) = (c_1 \lambda_1) \vec v_1 + \cdots + (c_n \lambda_n) \vec v_n = (c_1 \lambda_1,\dots,c_n \lambda_n). $$ Alors en effet, $V^TSV$ et $\Lambda$ décrivent la même transformation et sont donc la même matrice.
On peut penser à $V^TSV$ comme une version modifiée de $S$ où, au lieu de penser aux entrées d'un vecteur (à la fois en entrée et en sortie) comme les coordonnées littérales d'un vecteur, nous les interprétons comme les coefficients de nos vecteurs $v_i$. En termes de terminologie que vous avez peut-être déjà entendue auparavant, nous disons que$\Lambda$ est la matrice de $S$ "après un changement de base".