Est le $S^1$ cône $D^2$?

Question

Laisser $X$ être un espace topologique, laissez $Y=X \times [0,1]$ et $A=X \times \left \{ 0 \right \} \subset Y$. le cône sur X est l'espace$\left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \}$.

Maintenant, laisse $X=S^1$, mon objectif est de prouver que le cône sur $X$ est homéomorphe à $D^2$, où $D^2$ est le disque fermé unitaire dans $\Bbb R^2$. Fondamentalement, ce cône est obtenu à partir d'un cylindre par contraction de la base inférieure en un point.

En utilisant les coordonnées polaires, nous pouvons établir une carte $f: \left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \} \rightarrow D^2$ défini comme $f(\theta, \rho)= \rho(\cos \theta, \sin \theta)$.
Cette carte est continue, injective et surjective, mais comment prouver que c'est un homéomorphisme?

Answer 1

Montrer $f$ est un homéomorphisme sans utiliser la compacité, vous pouvez construire explicitement l'inverse de $f$, à savoir $$ g(x, y) = [t(x, y), \sqrt{x^2 + y^2}] $$ où les parenthèses désignent la classe d'équivalence, et $$ t(x, y) = \begin{cases} 0 & (x, y) = (0,0) \\ \frac{\pi}{2} & x = 0, y > 0\\ \frac{3\pi}{2} & x = 0, y < 0\\ \arctan(y/x) & x > 0 \\ \pi + \arctan(y/x) & x < 0 \end{cases} $$ où chacune de ces valeurs doit être considérée comme un nombre (mod $2\pi$), d'où un élément de $S^1$.

La continuité de $g$ est assez clair partout sauf le long du $y$-axe. Pour ceux-là, vous devrez montrer que$g^{-1}(U)$ est ouvert chaque fois $U$ est ouvert dans le domaine, ce qui signifie écrire une façon de décrire les ensembles ouverts dans le quotient, ce qui est une douleur dans le cou, mais vous êtes invités à le faire.