Évaluation de masse avec triple intégrale

Question

Question: Trouvez la masse totale d'un solide situé entre la surface$z=4-x^2-y^2$ et le cône $z=3\sqrt{x^2+y^2}$ dans le premier octant, à condition que sa densité soit $rou(x, y, z)=2$ à tous les points.

C'est l'une des questions que j'ai posées dans le test il y a un instant et je suis assez curieux de savoir comment ce problème devrait être résolu de la bonne manière avec des coordonnées sphériques ou cylindriques. J'ai fait de nombreux problèmes avec des cônes liés par une sphère parfaite mais je n'ai jamais vu de problème comme celui-ci où le cône est lié par une forme avec un rayon non constant (à partir de l'origine dans ce cas). Généralement pour les problèmes de cônes liés par sphères, le$radius$ en cylindrique et $rou$ en sphérique sont des constantes, et je ne pouvais pas comprendre ce que le correspondant $radius$ ou $rou$ est dans ce problème.

J'ai finalement manqué de temps pour résoudre le problème des coordonnées sphériques et j'ai dû utiliser les coordonnées cartésiennes hardcore: $$m=\int_{0} ^{1}\int _{0} ^{\sqrt{1-x^2}} \int _{3\sqrt{x^2+y^2}} ^{4-x^2-y^2} 2\,dz\,dy\,dx$$

L'équation devrait être juste mais je n'ai pas pu l'évaluer par la suite comme prévu.

Quelqu'un pourrait-il s'il vous plaît me montrer comment cela se fait en coordonnées sphériques ou cylindriques? Merci d'avance!

Answer 1

En cylindrique, pour particulier $(r,\phi),z$ varie de ses valeurs en surface $z=3r$ à sa valeur en surface $z=4-r^2$. Ces deux surfaces se croisent à$r=1,z=3$. Ainsi, la projection du volume sur le$(r,\phi)$ l'avion est $r\le1$, donnant

$$M=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{3r}^{4-r^2}2dz~dr~d\phi=26\pi/3$$

---

En sphérique, les deux courbes sont $r\cos\theta=4-r^2\sin^2\theta\implies r=\frac{\sqrt{15\sin^2\theta+1}-\cos\theta}{2\sin^2\theta}$ et $r\cos\theta=3r\sin\theta\implies\tan\theta=1/3$. Pour un particulier$\theta,\phi,r$ varie de $0$ à sa valeur sur la première surface ie $\frac{\sqrt{15\sin^2\theta+1}-\cos\theta}{2\sin^2\theta}$. Pour un particulier$\phi,\theta$ varie de $0\to\tan^{-1}(1/3)$, donnant

$$M=\int_0^{2\pi}\int_0^{\tan^{-1}(1/3)}\int_0^{\frac{\sqrt{15\sin^2\theta+1}-\cos\theta}{2\sin^2\theta}}2dr~d\theta~d\phi$$

---

Edit: J'ai réalisé que nous étions censés calculer la masse uniquement dans le premier octant. Puisque la densité de masse et le volume sont symétriques dans les quatre octants supérieurs, nous pouvons obtenir la réponse en divisant$M$ par $4$sans déranger les intégrales. Sinon, modifiez simplement la limite de$\phi$ à $0\to2\pi/4$ dans les deux intégrales.