Évaluation intégrale / de volume triple

Question

Question: Trouvez le volume du solide qui se trouve à la fois dans le cylindre$x^2+y^2=1$ et la sphère $x^2+y^2+z^2=4$.

La solution que nous a donnée notre instructeur:$$\int_{0} ^{2\pi}\int _{0} ^{1} \int _{-\sqrt3} ^{\sqrt3} r\,dz\,dr\,d\theta$$

Je pense que cette solution est incorrecte car les surfaces supérieure et inférieure du$z$ la direction n'est clairement pas $-\sqrt3$ et $\sqrt3$et que le rayon à l'intérieur du cylindre ne peut pas être une constante comme 1 si nous partons de l'origine. (Je pourrais toutefois avoir tord).

Quelqu'un peut-il s'il vous plaît me montrer comment configurer correctement une triple intégrale pour résoudre ce problème ou m'expliquer pourquoi l'équation ci-dessus est correcte?

Merci d'avance!

Answer 1

Tu as raison. C'est le volume d'un cylindre, et donc ce ne peut pas être la bonne intégrale. Ça devrait être$$\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}}r\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta.$$