exécuter une sommation impliquant un opérateur différentiel

Question

Ci-dessous un opérateur

$\hat{D}=\sum_{i,j}^2 \frac{\partial}{\partial u^i}\sqrt{g}g^{ij}\frac{\partial}{\partial u^j}$

où $g_{ij}=\begin{pmatrix}p(x,y) & q(x,y)\\\ q(x,y) & r(x,y)\end{pmatrix}$ et $u^1,u^2$ sont respectivement $x$ et $y$.

En mathématique, comment le faire agir sur une fonction $F(x,y)$? J'ai du mal à comprendre comment faire la partie sommation. Les fonctions$p,q,\& \, r$ seront tous spécifiés mais $F$est de rester arbitraire. Ce que je veux en fait, c'est une équation

$\hat{D}F(x,y)=0$

C'est facile à faire à la main si $i,j$ ne fonctionne que de 1 à 2, mais je veux savoir s'il existe un moyen de le faire fonctionner dans Mathematica si je remplace 2 par 3 ou plus.

Answer 1

Vieux

Voulez-vous dire quelque chose comme ça? (Je ne savais pas ce que tu voulais dire avec la racine de la matrice$g$, alors je l'ai laissé de côté)

g[x_, y_] := {{p[x, y], q[x, y]}, {q[x, y], r[x, y]}};
op[u1_, u2_] = (
   D[g[u1, u2][[1, 1]]*D[#, {u1, 1}], {u1, 1}]
    + D[g[u1, u2][[1, 2]]*D[#, {u2, 1}], {u1, 1}]
    + D[g[u1, u2][[2, 1]]*D[#, {u1, 1}], {u2, 1}]
    + D[g[u1, u2][[2, 2]]*D[#, {u2, 1}], {u2, 1}]
   ) &

Application sur la fonction

op[x, y][F[x, y]]

Mise à jour: Sommation

op2[u_] = Sum[
   D[(g @@ u)[[i1, i2]]*D[#, {u[[i2]], 1}], {u[[i1]], 1}]
   , {i1, Length@u}
   , {i2, Length@u}
   ] &

op2[{x, y}][F[x, y]] == op[x, y][F[x, y]]

Vrai