Exemple d'induction mathématique
Actuellement, je suis sur l'induction mathématique et j'ai rencontré un problème que je ne sais tout simplement pas par où commencer et je ne trouve pas d'exemples sur lesquels je puisse continuer, alors juste pour clarifier, je vous demande par exemple avec une solution tâche similaire.
La tâche que je devrais résoudre est: $$1053|3^{2n+2}*5^{2n}-3^{3n+2}*2^{2n}$$
Si vous me donnez éventuellement une solution à ceci: $$3|(n^{3}-n)$$ puisque je pense que celui-ci est plus facile à résoudre
PS: Je ne veux pas que vous résolviez mon problème, parce que je veux essayer de le résoudre moi-même, je veux juste un exemple pour voir comment vous pouvez résoudre ce type de tâches. Merci!
Réponses
Ce problème suivant est plus similaire à votre $1053$ problème: montrez que $5 \mid (3^{2n}-2^{2n})$.
Le cas de base est trivial.
Pour l'étape inductive, nous supposons que $5 \mid (3^{2k}-2^{2k})$ et essayez de prouver que $5 \mid (3^{2(k+1)}-2^{2(k+1)})$.
Nous écrivons $3^{2k}-2^{2k}=5K$, nous avons donc $3^{2k} = 5K+2^{2k}$. Maintenant:
$$\begin{align}3^{2(k+1)}-2^{2(k+1)}&=9(5K+2^{2k})- 2^{2(k+1)}\\&=45K+9\cdot2^{2k}-4\cdot2^{2k}\\&=5(9K+2^{2k})\end{align}$$
qui montre notre résultat souhaité.
Il s'agit d'une méthode standard pour les preuves d'induction mathématique de type "divisibilité des puissances".
Utilisez ceci: $$n^3-n=(n-1)n(n+1)$$ ou (si vous souhaitez une preuve par induction): $$(n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-n-1=n^3-n+(3n^2+3n).$$
Astuce: pour l'étape inductive, utilisez $(n+1)^3 - (n+1) = n^3 + 3 n ^2 + 3 n + 1 - n - 1 = (n^3 - n) + 3 (n^2 + n) $. Que pouvez-vous dire pour chacun de ces deux termes?