Exemple d'objet mal défini

Question

Je suis assistant d'enseignement pour un cours d'algèbre linéaire de première année pour des étudiants en mathématiques et en physique et je pense que ce n'est pas si clair pour mes étudiants ce que signifie «bien défini». Par conséquent, je voudrais consacrer une partie de la prochaine session à leur donner une idée de ce qu'est cette notion.

De ma propre expérience en tant qu'étudiant de première année, je me souviens que voir des exemples de fonctions ou d'opérations qui ne sont pas bien définis était beaucoup plus utile pour comprendre ce que ce concept signifie vraiment.

Ma question est donc la suivante: quels sont les exemples sympas (pas trop compliqués) de définitions d'objets mathématiques qui ne sont pas bien définis? Les exemples peuvent concerner à la fois l'analyse ou l'algèbre linéaire mais doivent être assez simples. Je serais également intéressé par des constructions mal définies qui ne sont pas nécessairement liées directement à des fonctions (dans le sens de mon dernier exemple).

J'ai trouvé quelques exemples mais je me demandais s'il y en avait de meilleurs :). Voici l'exemple que j'ai trouvé.

• Sous quelle condition est la "fonction d'identité" $\varphi : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/m \mathbb{Z}, [x] \mapsto [x]$ bien défini?
• Est la fonction $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z}, \frac{a}{b} \mapsto a + b$ bien défini?
• Pourquoi nous soucions-nous de l'associativité dans les groupes / anneaux / champs?

Answer 1

Je pense que vos exemples souffrent parce qu'ils dépendent de conventions de notation. Après tout, pourquoi désignons-nous un seul nombre par les deux$\frac12$ et $\frac24$? Parce que les rationnels sont définis par des classes d'équivalence, mais c'est caché dans notre familiarité avec la notation. Il en va de même pour l'arithmétique modulaire.

Je suggère ce qui suit.

1. Décomposons les nombres entiers en trois piles, Z, U, T, où $Z$ se compose de tous les multiples de trois, $U$ consiste en ${\ldots, -5, -2, 1, 4, 7, \ldots}$ (c'est-à-dire des multiples de trois, plus un) et $T$est "multiples de trois, plus deux"). Définissez l'addition comme suit:

$$ A \oplus B $$ pour deux des $Z, U, T$, est défini en prenant un élément de $A$, un élément de $B$, et en les ajoutant dans $\Bbb Z$. Le résultat est dans l'un des trois ensembles, et nous avons défini la «somme» de$A$ et $B$ être ce troisième set.

[élaborez au moins un exemple; montrer qu'il existe une identité pour l'addition, à savoir$Z$].

1. Décomposons les entiers en trois piles Décomposons les entiers en trois piles, $Z, E, I,$ où $𝑍$ se compose de zéro, $E$ contient tous les nombres pairs sauf $0$, et $I$contient tous les nombres impairs. Définissez l'addition comme suit:$$ A \oplus B $$ pour deux des $Z, E, I$est défini en prenant un élément de 𝐴, un élément de 𝐵, et en les ajoutant dans ℤ. Le résultat est dans l'un des trois ensembles, et nous définissons la «somme» de 𝐴 et 𝐵 comme étant ce troisième ensemble.

Encore une fois, faites un exemple (montrez que $A \oplus B = A$, par exemple, ou que $Z \oplus I = I$), montre CA $Z$ est un élément d'identité additif, puis montrez ... qu'il n'est pas bien défini, car $E+E$, si vous choisissez des éléments $2$ et $-2$, ajouterait à $Z$, mais si vous choisissez $2$ et $4$, cela ajouterait à $E$.

Cela montre exactement où se situe l'erreur dans la définition ("Le résultat est dans l'un des trois ensembles" est vrai, mais lequel des trois dépend des choix que vous avez faits ...)

Cela peut aussi être utile avec une multiplication plutôt qu'une addition, car la multiplication élément par élément (en BBB Z) (dans le premier exemple) de $Z$ et $Z$ne finit pas par être égal à$Z$, mais finit plutôt par devenir un sous - ensemble de$Z$(et de même pour les autres produits). J'ai réussi à mal comprendre cela (dans un contexte différent) pendant un certain temps.