Exemple de correction d'erreur quantique [fermé]
Code 9 Qubit de Shor. Imaginez que nous encodons l'état$| \psi \rangle = \alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle$ en utilisant le code 9 qubit de Shor, une erreur X se produit sur le 8e qubit de l'état codé $| E ( \psi ) \rangle$.
a) Notez l'état suite à l'erreur.
Apparemment, la réponse est
$$\frac{1}{2 \sqrt2}( \alpha (| 000 \rangle + | 111 \rangle) ( | 000 \rangle + | 111 \rangle) ( | 010 \rangle + | 101 \rangle) \\ + \beta ( | 000 \rangle - | 111 \rangle)( | 000 \rangle - | 111 \rangle)( | 010 \rangle - | 101 \rangle))$$
Comment cela a-t-il été dérivé? Je ne vois pas comment vous faites cela avec une erreur.
b) Nous décodons maintenant l'état codé, en commençant par appliquer l'algorithme de décodage de code à retournement de bits. Quels sont les syndromes renvoyés par les mesures dans l'algorithme?
Apparemment, les syndromes sont $00, 00, 10$. Comment savoir quelles mesures faire?
c) Imaginez maintenant que $| E( \psi ) \rangle$ est affecté par deux $X$erreurs, sur les 7e et 8e qubits. Quels sont les syndromes retournés cette fois? Quel état produit l'algorithme de décodage?
Maintenant, les syndromes sont $00, 00, 01$. L'algorithme de décodage pense donc qu'il y a eu une erreur X sur le 9e qubit. Donc il "corrige" ceci en appliquant une opération X sur ce qubit, pour donner l'état
$$\frac{1}{2 \sqrt2}( \alpha (| 000 \rangle + | 111 \rangle)( | 000 \rangle + | 111 \rangle)( | 000 \rangle + | 111 \rangle)\\ - \beta ( | 000 \rangle - | 111 \rangle)( | 000 \rangle - | 111 \rangle)( | 000 > - | 111 \rangle))$$
Notez que $\beta$a maintenant un signe moins devant lui. Après le décodage de bits, il nous reste$\alpha | +++ \rangle - \beta | --- \rangle$, qui est ensuite décodé en $\alpha | 0 \rangle - \beta | 1 \rangle$.
Encore une fois, comment saurais-je quelles mesures prendre? Aussi comment savoir a priori que j'ai des erreurs sur les 7e et 8e qubits? Pourquoi appliquons-nous un$X$ opération au 9e qubit?
Réponses
Réponse à a)
État encodé initial avec index qubit (je vais omettre $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ pour la simplicité):
\begin{align}|\psi\rangle = &\alpha (|0_1 0_2 0_3\rangle + |1_1 1_2 1_3\rangle)(|0_4 0_5 0_6\rangle + |1_4 1_5 1_6\rangle)(|0_7 0_8 0_9\rangle + |1_7 1_8 1_9\rangle) + \\ &\beta (|0_1 0_2 0_3\rangle - |1_1 1_2 1_3\rangle)(|0_4 0_5 0_6\rangle - |1_4 1_5 1_6\rangle)(|0_7 0_8 0_9\rangle - |1_7 1_8 1_9\rangle) \end{align}
Après avoir postulé $X$ porte sur $8$e qubit (et après avoir supprimé les index):
\begin{align}|\psi\rangle = &\alpha (|0 0 0\rangle + |1 1 1\rangle)(|0 0 0\rangle + |1 1 1\rangle)(|0 1 0\rangle + |1 0 1\rangle) + \\ &\beta (|0 0 0\rangle - |1 1 1\rangle)(|0 0 0\rangle - |1 1 1\rangle)(|0 1 0\rangle - |1 0 1\rangle) \end{align}
Réponse à b)
Il faut toujours faire les mêmes mesures d'opérateur quelle que soit l'erreur acquise. Les opérateurs de détection$X$ erreur sont $Z_1 Z_2$, $Z_2 Z_3$, $Z_4 Z_5$, $Z_5 Z_6$, $Z_7 Z_8$, $Z_8 Z_9$. Après avoir mesuré tous ces$6$ opérateurs on obtient pour chacun d'eux soit $0$ ou $1$. $00,00,10$la mesure du syndrome est erronée (je suppose qu'il y a une faute de frappe dans l'exercice). Le vrai syndrome est$00,00,11$ et cela signifie seulement $Z_7 Z_8$ et $Z_8 Z_9$ les mesures de l'opérateur ont produit $1$ indiquant que le $X$ l'erreur a été acquise le $8$qubit. On peut appliquer un$X$ porte vers le même (erreur) $8$e qubit afin de corriger l'erreur. Voici le circuit pour tous mentionnés$6$ mesures de l'opérateur (notez qu'il existe $6$ des mesures).
Réponse à c)
Avec ce code de correction d'erreur, nous supposons toujours que nous n'avons qu'une seule erreur de qubit . S'il y a deux erreurs de qubit, cette technique avec son syndrome peut indiquer de faire quelque chose qui ne corrigera pas l'erreur. Dans cet exemple,$00, 00, 01$indique (à tort, car notre hypothèse d' une erreur de qubit n'est pas vraie pour cet exemple d'erreur) que$9$Le qubit a une erreur.
Je pense que la question principale ici est de savoir comment faire la mesure de l'opérateur pour le syndrome . Si j'ai raison, je suggère de poser séparément une question en mettant l'accent sur ce sujet (avec peut-être ce titre "Comment faire$ZZ$ mesure de l'opérateur pour le code 9 qubits de Shor? ").