Exercice de Herstein: un sous-groupe d'un groupe fini G tel que $|G| \nmid i_G(H)!$ doit contenir un sous-groupe normal non trivial.

Question

C'est un problème «plus difficile» 40 de Abstract Algebra (1996) par Herstein. Je ne suis tout simplement pas capable de comprendre comment faire cela. même si j'ai trouvé un article très similaire . Voici un exposé textuel de la question.

Si $G$ est un groupe fini, $H$ un sous-groupe de $G$ tel que $n \nmid i_G(H)!$, où $n=|G|$, prouvez qu'il existe un sous-groupe normal $N \neq (e)$ de $G$ contenu dans $H$.

PS Je suis coincé là-dessus depuis environ une semaine, et maintenant je jette l'éponge, alors j'apprécierais vraiment une solution, mais je vous implore humblement de me donner des indices à la place pour que je puisse tuer ce problème ( sorte de) par moi-même, bien que franchement, j'ai perdu espoir.

Answer 1

Supposer que $H$ a un index $n$ dans $G$. L'action sur les cosets (à droite, disons) de$H$ induit un homomorphisme $\phi:G\to S_n$, et le noyau de cette carte, le noyau de$H$ dans $G$, est le plus grand sous-groupe normal de $G$ contenu dans $H$. Ainsi, le noyau est non trivial si et seulement si le sous-groupe$N$ dont vous avez besoin existe, alors laissez $N$dénotons ce noyau. Depuis$G/N$ est isomorphe à un sous-groupe de $S_n$, $|G/N|\mid n!$. Mais$|G|\nmid n!$, et donc $|N|>1$.