Faible formulation pour la réaction de diffusion d'advection

Question

J'ai besoin d'un contrôle sur l'exercice suivant sur les formulations faibles et les éléments finis.

Considérez le système de diffusion par advection $$ \begin{cases} -(\mu u')' + \beta u' + \gamma u = f \\ u(a)=0 \\ u(b) = g_b \end{cases}$$

où $\mu,\beta \beta', \gamma \in C^{0}([a,b])$ et $f \in L^2(a,b)$

• Ecrire la formulation faible en spécifiant les espaces fonctionnels

• Donnez des conditions suffisantes pour que la forme bilinéaire soit coercitive.

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Voici ma tentative:

• Comme j'ai Dirichlet bc, je choisis comme espace fonctionnel pour la fonction de test $H_0^1$.

Par conséquent, en intégrant par parties j'obtiens: $$\int_a^b \mu u'v'dx + \int_a^b \beta u' v dx + \int_a^b \gamma u v dx = \int_a^b fv dx$$

Par conséquent, la formulation faible est "Find$u \in H^1$, avec $u(a)=0$ et $u(b)=g_b$ st $$a(u,v)=F(v)$$ pour chaque $v \in H_0^1$"

Les espaces fonctionnels sont en fait différents : si tous les coefficients étaient des constantes, alors je pourrais utiliser un "lifting" et chercher une solution du problème avec Dirichlet homogène.

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ÉDITER

Alors je considère $\bar{u} = u-R_g$, où $R_g(x)$ est la fonction de levage telle que $R_g(b)=g_b$ et $R_g(0)=0$.

Ensuite, je branche $u = \bar{u} -R_g$ dans la formulation faible et obtenir:

$$\int_a^b \mu \bar{u}'v'dx + \int_a^b \beta \bar{u}' v dx + \int_a^b \gamma \bar{u} v dx = \int_a^b fv dx - \int_a^b \Bigl[ \mu R_g v' +\beta R_g v +\gamma R_g v\Bigr ]dx$$

Ensuite, je peux trouver avec FEM la solution $\bar{u}$et récupérer $u(x)$ grâce à $$u(x)=\bar{u}(x) +R_g(x)$$

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• En calculant explicitement $$a(u,u)= \int_a^b \mu u'^2 dx + \int_a^b \beta u' u dx + \int_a^b \gamma u^2$$

En utilisant l'inégalité de Poincarè et en supposant $0<\mu_1<\mu(x)$: $$\geq \frac{\mu_1}{1+C_P^2} ||u||_V^2 + \int_a^b \beta u u'dx + \gamma u^2 dx$$

Par conséquent, j'observe que $$\beta u u' = (\beta \frac{u^2}{2})'- \beta' \frac{u^2}{2}$$

Ensuite, en intégrant par parties, en utilisant le fait que $u(a)=0$ et $u(b)=g_b$: $$a(u,u)\geq \frac{\mu_1}{1+C_P^2} ||u||_V^2 + \beta \frac{g_b^2}{2} + \int_a^b[\gamma - \frac{\beta'}{2}]u^2dx$$

Alors je suppose $$\gamma - \frac{\beta'}{2} > 0$$ et $$\beta>0$$

Cela implique $a(u,u) \geq \frac{\mu_1}{1+C_P^2} ||u||_V^2$.

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Tout va bien? *

Answer 1

Puisque vos espaces d'essai et de test sont différents, vous devez utiliser une version différente du lemme de Lax-Milgram, voir par exemple, [1], Théorème 5.1.2

Vous pouvez toujours utiliser l'idée de levage car le PDE est linéaire. Ensuite, vous pouvez vérifier les conditions dans le lemme standard de Lax-Milgram.

Pour montrer la coercivité, vous avez besoin de la condition $$ \gamma(x) - \frac{1}{2} b'(x) \ge -\eta, \qquad -\infty < \eta < \frac{\mu_0}{C} $$ où $$ \mu_0 = \min_x \mu(x) > 0 $$ et $C$est la constante de l'inégalité de Poincaré. Pour cela, voir [1], Section 6.1.2

[1] Quarteroni et Valli, Approximation numérique de PDE.