Fibration du $n$-tore troué

Question

Laisser $X$ Soit le $n$-tore troué, un $2$-contributeur dimensionnel.

Pour $n = 0$, il y a une fibration $S^3 \rightarrow X \cong S^2$ avec des fibres $S^1$.

Pour $n = 1$, il y a une fibration $\mathbb{R}^2 \rightarrow X \cong \mathbb{T}^2$ à la $2$-tore dimensionnel. Ses fibres sont discrètes (dimension$0$) et en correspondance avec $\mathbb{Z}^2$.

Pour les autres $n > 1$, Je recherche des variétés $M_n$ avec $\pi_0(M) = 0, \pi_1(M) = 0, \pi_2(M) = 0$, et une fibration $M \rightarrow X$, dont les fibres sont $1$- variétés dimensionnelles (homéomorphes soit $\mathbb{R}$ ou $S^1$ ou des unions disjointes de ceux-ci).

S'il n'y en a pas, y a-t-il des variétés dimensionnelles plus élevées avec de telles fibrations?

Answer 1

Permettez-moi d'utiliser la notation plus standard $\Sigma_g$ pour la surface orientable fermée du genre $g$. Application de la longue séquence exacte en homotopie à une fibration$F \to M \to \Sigma_g$ avec $M$ satisfaire vos conditions donne d'abord un isomorphisme

$$\pi_1(\Sigma_g) \cong \pi_0(F)$$

et deuxièmement un isomorphisme

$$\pi_2(\Sigma_g) \cong \pi_1(F).$$

Depuis la couverture universelle de $\Sigma_g$ is (le plan hyperbolique $\mathbb{H}$ donc) contractable $\pi_2(\Sigma_g)$disparaît. Nous concluons que si$F$ est un $1$-manifold alors ce doit être une union disjointe de $|\pi_1(\Sigma_g)|$ copies de $\mathbb{R}$. On peut obtenir une telle fibration en prenant$M = \mathbb{H} \times \mathbb{R}$ où la carte $M \to \Sigma_g$ est le composite de la projection $\mathbb{H} \times \mathbb{R} \to \mathbb{H}$ avec la carte de couverture universelle $\mathbb{H} \to \Sigma_g$.

C'est en quelque sorte "ennuyeux", car nous venons d'insérer $\mathbb{R}$par fiat. On peut soutenir qu'une construction plus naturelle est la suivante. Si nous équipons$\Sigma_g$avec une métrique hyperbolique de courbure constante alors on peut considérer son fibré tangent unitaire $UT(\Sigma_g)$, un espace qui se trouve naturellement dans une fibration non triviale

$$S^1 \to UT(\Sigma_g) \to \Sigma_g.$$

(Lorsqu'elle est appliquée à la sphère, cette construction produit la fibration de Hopf.) $UT(\Sigma_g)$ est naturellement le quotient du fibré tangent unitaire $UT(\mathbb{H}) \cong PSL_2(\mathbb{R})$ du plan hyperbolique par l'action de $\pi_1(\Sigma_g)$agissant par isométries hyperboliques, et ensuite on peut envisager de prendre la couverture universelle de cet espace, qui est contractible. Au total, cela devrait donner une fibration

$$F \to \widetilde{PSL}_2(\mathbb{R}) \to \Sigma_g$$

avec les propriétés souhaitées qui est un peu plus «naturelle», bien qu'il puisse en fait être l'équivalent d'une homotopie comme une fibration à la précédente, je ne sais pas.