Flux électrique à travers l'hémisphère

Question

Mon professeur a posé cette question et cela m'a fait réfléchir;

Le flux électrique à travers la surface courbe d'un hémisphère de rayon R lorsqu'il est placé dans un champ électrique uniforme est de?

Avant cela, on m'a appris la définition du flux comme le nombre de lignes de champ passant perpendiculairement à une zone. (Si les lignes ne sont pas perpendiculaires, nous utilisons la composante de ligne de champ qui est)

Maintenant, c'est comme ça (impossible de joindre un diagramme): si l'hémisphère est le bol, les lignes de champ viennent perpendiculairement dans le bol.

Je me rends compte que seule la partie de l'hémisphère juste en face de l'ouverture circulaire obtiendrait toutes les lignes de champ, mais le vecteur de zone continuerait à changer de direction sur toute la surface, ce qui changerait l'angle entre E et A, le flux est le point produit de E et A, donc le flux serait (devrait, au moins) être affecté, mais mon professeur m'a dit que le flux est $EπR^2$et maintenant je suis confus parce que juste avant la question, il nous a appris comment les angles variables entre E et A affectent le flux. J'ai recherché une solution en ligne et elle correspond à celle de mon professeur. Veuillez aider.

Answer 1

Vous pensez dans le bon sens (pardonnez le jeu de mots), mais le flux total est toujours $\phi_E = \pi R^2 E$. Vous avez raison de dire que les lignes de champ seront à des angles différents par rapport au vecteur normal en différents points sur la surface courbe; si vous divisez la surface courbe en beaucoup de zones plus petites, le flux à travers chacune serait$d\phi_E = \textbf{E} \cdot \textbf{dA},$avec le produit scalaire capturant le fait qu'ils ne sont pas toujours «alignés» les uns avec les autres. Si vous additionnez tous les petits flux sur la surface courbe, vous obtiendrez$$ \int_{\text{Curved Surface}} \textbf{E} \cdot \textbf{dA} = \phi_E = \pi R^2 E$$si vous avez effectué l'intégration, par exemple, en coordonnées polaires. ( Je n'ai inclus aucun calcul ici pour que la réponse soit plus lisible, mais je suis plus qu'heureux de tout inclure si vous en avez besoin. Ce n'est qu'un simple problème dans le calcul multivariable. )

Cependant , il existe un moyen beaucoup plus simple d'obtenir le même résultat si vous pensez un peu de manière créative. Tout le flux qui passe à travers la surface courbe de l'hémisphère passe également à travers la base plate. En fait, peu importe la forme de l'autre côté - que ce soit un hémisphère ou un cône ou autre chose - tant que c'est une surface fermée et que le champ électrique est constant, il va `` attraper 'autant de flux que la base plate.

Par conséquent, le flux total est toujours va être$\phi_E = E \cdot \text{Area of the Base}.$

Answer 2

Tu as raison, l'angle entre $\mathbf{E}$ et l'aire infinitésimale $\text{d}\mathbf{A}$ n'affecte la valeur du flux, il est pour cette raison que le flux n'est pas$2\pi R^2 E_0$ comme vous pourriez l'imaginer «naïvement» ($2\pi R^2$ étant l'aire d'un hémisphère).

Voici une façon simple et «intuitive» de le voir: le champ étant constant partout sur la surface, il suffit de trouver le produit de la magnitude du champ avec la projection de la surface sur le$xy-$plan (c'est-à-dire perpendiculaire à la direction du champ). Imaginez l'hémisphère à placer devant un mur, et le champ électrique est une «lampe torche» qui brille sur sa section transversale. Quelle est la superficie de la lumière totale qui a été bloquée? Ce sera la zone de l'ombre projetée par la sphère, qui est juste$\pi R^2$si la lumière est uniforme partout. Le flux de champ traversant cette zone n'est alors que le produit de cette zone "projetée" et de l'intensité du champ,$E_0 \pi R^2$.

Si vous n'êtes pas convaincu, il n'est vraiment pas difficile de le calculer; Je suggérerais de le faire comme un exercice. Je vais vous esquisser la marche à suivre: le flux électrique est donné par$$\phi_E = \iint\mathbf{E}\cdot\text{d}\mathbf{A},$$ et dans votre cas $\mathbf{E} = E_0 \mathbf{\hat{z}}$ avec $E_0$ étant une constante, ce qui signifie que $$\phi_E = E_0 \iint\mathbf{\hat{z}}\cdot\text{d}\mathbf{A},$$

                          

Vous devriez pouvoir voir sur l'image ci-dessus que l'élément de surface à la surface de la sphère (appelé $\text{d}^2\mathbf{S}$ dans l'image) est $R^2 \sin{\theta}\text{d}\theta \text{d}\phi \mathbf{\hat{r}}$. Le point important à réaliser est (comme vous l'avez souligné) que$\mathbf{\hat{r}\cdot \hat{z}} =f(\theta)$, où $f(\theta)$ est une fonction très simple de $\theta$. (Je vous conseille vivement de le calculer géométriquement.)

En utilisant ce fait, vous pouvez trouver que

$$\phi_E = E_0 \int_0^{2\pi} \text{d}\phi \int_0^{\pi/2} R^2 \sin{\theta} f(\theta) = 2 \pi R^2 E_0 \int_0^{\pi/2} \sin{\theta} f(\theta).$$

Si vous avez tout calculé comme prévu, vous devriez trouver que $\phi_E = \pi R^2 E_0$.