Fonction harmonique et conjugué harmonique

Question

Laisser $u:G\subset\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction harmonique $v:G\rightarrow \mathbb{R}$ la fonction conjuguée harmonique, avec $G$un domaine. Prouve-le$u^2-v^2$ et $uv$ sont harmoniques sans dérivés.

Avant cela, j'ai prouvé que $u^2$ est harmonique, si $u$est une fonction harmonique. Ensuite, j'ai pensé que$u^2$ et $v^2$ sont des fonctions harmoniques, et je voulais en conclure que $u^2-v^2$ est une fonction harmonique.

Néanmoins, cette interprétation est erronée.

Merci d'avance

Answer 1

Depuis $v$ est un conjugué harmonique à $u$, cela signifie que la fonction $f=u+iv$ est holomorphe dans le domaine $G$spécifié. Cependant, il est facile de montrer que si$f$ est holomorphe, alors $f^2$est holomorphe et par les équations de Cauchy-Riemann, c'est réel et sa partie imaginaire sont des fonctions harmoniques. L'expansion montre que

$$f^2=(u+iv)^2=u^2-v^2+i(2uv)\equiv \Re f+ i \Im f$$

et donc les fonctions $\Re f=u^2-v^2$ et $\Im f=2uv$ et sont harmoniques (évidemment si $2uv$ est harmonique alors aussi $uv$ est).

Answer 2

Si $v$ est le conjugué harmonique de $u$, puis

$f(z) = u(z) + iv(z) \tag 1$

est holomorphe; ainsi est$(f(z))^2$; maintenant,

$(f(z))^2 = (u(z) + iv(z))^2 = u^2(z) - v^2(z) + 2iu(z)v(z); \tag 2$

depuis $u^2 - v^2$ et $2uv$ sont les parties réelles et imaginaires de $f^2(z)$, ils sont harmoniques; $2uv$ harmonique implique que $uv$ est.

Nota Bene: si$u$ est harmonique, alors $u^2$ n'est harmonique que si et seulement si $\nabla u = 0$, car nous avons

$\nabla u^2 = \nabla \cdot (\nabla u^2) = \nabla \cdot (2u\nabla u)$ $= 2\nabla u \cdot \nabla u + 2u\nabla \cdot \nabla u = 2\nabla u \cdot \nabla u + 2u\nabla^2 u = 2\nabla u \cdot \nabla u, \tag 3$

depuis

$\nabla^2 u = 0; \tag 4$

il nous reste

$\nabla u^2 = 2\nabla u \cdot \nabla u; \tag 5$

donc pour harmonique $u$, $u^2$ harmonique équivaut à

$\nabla u = 0, \tag 6$

C'est, $u$ est constante sur les composants connectés de $G$.

Dans cet argument, j'ai utilisé l'identité bien connue

$\nabla \cdot (u \nabla u) = \nabla u \cdot \nabla u + u \nabla \cdot \nabla u, \tag 7$

qui se trouve dans de nombreuses sources sur l'opérateur gradient $\nabla$et identités de calcul vectoriel; le lecteur mon vérifier wikipedia ou simplement google autour pour plus. Fin de la note.