Fonctions périodiques le long de chaque géodésique

Question

Dans un effort pour comprendre certains théorèmes de rigidité géométrique, je suis curieux de savoir ce qui suit: let $(M,g)$ être une variété riemannienne complète et supposons qu'il existe une fonction à valeur réelle non constante sur $M$ qui a une période de 1 lorsqu'elle est limitée à une géodésique de vitesse unitaire de $M$. Cela place-t-il des restrictions sur$(M,g)$?

Mon sentiment est que la grande majorité des variétés ne peuvent pas supporter une telle fonction. La sphère ronde le peut clairement.

edit: si je comprends bien - selon l'article arxiv.org/abs/1511.07852 de Radeschi et Wilking (Invent. Math. 2017) donné par Igor Belegradek dans les commentaires, un théorème de Wadsley (J. Diff. Geom. 1975) montre que, pour chaque variété riemannienne dont toutes les géodésiques sont fermées, chaque fonction sur $M$satisfait à la condition ci-dessus avec une période constante; le théorème est que toutes les longueurs de géodésiques fermées doivent être des multiples d'un seul nombre, lorsque$\pi_1(M)$ est fini

Answer 1

Si $f\circ \gamma$ a période $1$ pour toutes les géodésiques de vitesse unitaire $\gamma:\mathbb{R} \to M$ puis en particulier $f(x) = f(y)$ n'importe quand $x$ et $y$ sont les extrémités d'un segment géodésique de longueur $1$.

Cela implique que $f(x) = f(y)$ chaque fois qu'il y a une séquence $x_0 = x,x_1,\ldots,x_n = y$ tel que $x_i$ et $x_{i+1}$ sont les extrémités d'un segment de longueur $1$ pour $i = 0,\ldots,n-1$. Suite à Sunada, appelez une telle séquence$1$-chaîne géodésique.

Si deux points peuvent être joints par un $1$-chaîne géodésique alors $f$devrait être constant. Dans quelques articles de Sunada (par exemple le théorème C de "Théorèmes de valeur moyenne et ergodicité de certaines marches aléatoires" Compositio Mathematica 1983), les conditions dans lesquelles deux points peuvent être joints par un$1$-chaîne géodésique sont données.

Ses résultats impliquent que, pour une non-constante $f$ pour exister, il doit y avoir un point $o \in M$ telle que pour toute géodésique de vitesse unitaire avec $\gamma(0) = x$ on a ça $\gamma(n)$ est conjugué à $x$ le long de $\gamma$ pour tout entier $n$.

Cela implique notamment que $M$ est compact et son groupe fondamental est fini (puisque la condition ci-dessus passe également à l'espace de couverture universel).

Pour les surfaces, cela montre (théorème G dans l'article susmentionné de Sunada) que $M$ devrait être la sphère ou le plan projectif avec une métrique telle que toutes les géodésiques de $o$ avoir la période $2$.