Formule d'angle parallèle de Bolyai？

Question

J'ai vu le 【Théorème？】 suivant dans un livre écrit en japonais . Selon le livre, ce théorème semble être le résultat de l'enquête de Boyai sur les propriétés que les lignes parallèles satisfont dans des conditions non euclidiennes.

La traduction littérale du nom japonais de ce théorème peut être «la formule de l'angle parallèle de Bolyai». Comme ce livre a été écrit pour le grand public et ayant une description trop approximative, je ne peux pas préciser l'énoncé détaillé du théorème.

【Ma question】
(1) Quel est le nom de ce théorème en anglais?
(2) Quelle est l'énoncé exact de ce théorème?

C'est peut-être vrai dans le plan hyperbolique (la moitié supérieure du) bifide, mais pas dans le $S^2$, ai-je raison?

Ce que je veux savoir, c'est quel théorème peut être dérivé de "quelques prémisses ‡" + "deux lignes parallèles peuvent être tracées".
‡. Probablement axiomes et canons de la géométrie euclidienne autres que le postulat parallèle , ai-je raison?

【Théorème？】
Supposons qu'il existe deux † droites parallèles qui sont parallèles à la droite «a» et passent par le point «P». À ce moment, si la longueur de la ligne perpendiculaire (PH) tirée du point P à la ligne droite 'a' est x, et l'angle formé par cette ligne perpendiculaire (PH) et la ligne parallèle est θ, alors l'équation suivante est satisfait.

$$\tan\left(\theta\left(x\right)/2\right)=\exp\left(-\left(x/k\right)\right) \tag{1※}$$†. En utilisant la langue japonaise, nous pouvons masquer «juste deux» ou «au moins deux». Je ne sais pas dans quel sens les «deux» ont été écrits.
※ . Je ne peux trouver aucune description de ce qu'est le paramètre «k» dans l'équation 1.

C'est peut-être similaire au contenu de l'article de Wikipédia, "Angle of parallelism" . Cependant, l'article ne fait pas l'hypothèse que "deux lignes parallèles peuvent être tracées". Cependant, la formule de cette page est la suivante dans notre notation. Autrement dit, cela semble être le cas pour k = 1.$$\tan\left(\theta\left(x\right)/2\right)=\exp\left(-\left(x\right)\right)　\tag{2}$$

De plus, dans l'équation 1, si nous déterminons x, le θ semble être déterminé de manière unique, ai-je raison? Ainsi, je me demande aussi où il y a de la place pour deux (ou plus) lignes droites à tracer (cela signifie-t-il que nous pouvons dessiner plus d'une ligne perpendiculaire (PH)?)

Answer 1

La réponse ici cherche à interpréter le diagramme en termes de connaissance du temps présent avec l'origine de la géométrie hyperbolique. Je cherchais un wiki communautaire ...

Pour la surface hyperbolique bidimensionnelle intégrée dans $ \mathbb R^3:$

Si nous prenons $x$ pour représenter l'angle polaire / central calculé à partir de l'équateur cuspidal, et $\theta $ comme l'angle de parallélisme fait par la géodésique hyperbolique au méridien d'une pseudosphère dans son plan tangent, nous avons l'équation paramétrique d'une pseudo-sphère de courbure gaussienne, le rayon équatorial cuspidal respectivement:

$$ K= {-1}/{a^2},a=1, \; k=a $$

$$ \sin \theta = \text{sech x} = r/a $$

À l'équateur cuspidal $ (\theta=\pi/2, x=0) $. A une distance infinie ce sont$ (0,\infty)$ respectivement.

Ici nous avons

rayon en coordonnées cylindriques, angle polaire, coordonnée le long de l'axe de symétrie, angle fait par tangente de la géodésique hyperbolique au méridien et axe de symétrie,

correspondent respectivement comme:

$$ r, t, z, \psi= \phi, $$

liés à

$$ r= a \text{ sech t}, z= a (t- \tanh t)$$ et

$$ \sin \psi= r/a, \text{or} \sin \phi= r/a \; $$

pour la pseudosphère de Beltrami ou le filet de Chebychev respectant l'équation différentielle Sine-Gordon

$$ \dfrac{d(2\psi )}{ds} = \sin 2 \psi,\; \dfrac{d(2\phi )}{ds} = \sin 2 \phi; $$

Il n'y a que deux parallèles hyperboliques à l'axe de symétrie passant par un point quelconque. Ces deux parallèles hyperboliques sont deux lignes asymptotiques faisant l'angle$2\psi$ entre eux comme indiqué en rouge.

Les équations ci-dessus et les concepts de base sont conformes à la compréhension moderne de la géométrie hyperbolique de la pseudosphère.

Le premier diagramme des Bolyai

Si nous utilisons les symboles donnés dans le diagramme pour désigner, interpréter pour une correspondance complète:

$$( x=PH ) \rightarrow r,\; \theta \rightarrow (\pi/2-\phi=\pi/2-\psi)$$

c'est-à-dire quand $\theta$dans le diagramme est l'angle fait par la géodésique hyperbolique au cercle parallèle et non au méridien, alors il y a une correspondance complète à mon avis avec la compréhension actuelle.

On ne peut manquer de remarquer d'après les symboles utilisés par Bolyai que pour n'importe quel point $P$ de la pseudosphère à l'axe il y a une distance normale variable $PH$ de l'équateur cuspidal à l'axe au sens euclidien, $ a>PH>0.$

Par contre il y a une distance hyperbolique constante$HP$ entre la géodésique hyperbolique à travers $P$ marqué comme $b$ par Bolyai et sa ligne parallèle marquée $a$ contenant $H$car ces deux droites sont des parallèles hyperboliques .