Généralisation de la fonction Lambda de Liouville

Question

Laisser $n=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_m}_m,$ et définir $$\lambda_k(n)= (-1)^{ [\frac{\Omega(n)}{k} ]},$$ où $\Omega(n)= \alpha_1 + \cdots + \alpha_k,$ et $[\cdot]$ est la fonction du sol.

Pour $k=1$, $\lambda_1$est la fonction Lambda de Liouvilles. Pour$k=2$:

$\lambda_2(1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2)=-1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2p_3)=-1 \hspace{2 mm} \text{ and so on...}.$

-Y a-t-il des informations sur cette fonction?

-Si pour $\Re(s)>1$ nous définissons $$L(s, \lambda_2):= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda_2(n)}{n^s},$$

Y a-t-il un lien entre $L_{\lambda_2}(s)$ et les zéros de la fonction zêta de Riemann?

-Je suppose (sans savoir comment prouver) que $$\sum_{n<x} \lambda_2(n) = o(x),$$ sourire à $\lambda_1$ devrions-nous nous attendre à une annulation de racine carrée sur la somme de $\lambda_2$ ainsi que?

Answer 1

Considérons simplement le cas $k=2$; vous pouvez essayer de généraliser cet argument pour des$k$. Pour$k=2$, $$ \sum_{n\le x} \lambda_2(n) = \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 0,1 \mod 4}} 1 - \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 2,3 \mod 4}} 1. $$ Cela peut être exprimé comme $$ \text{Re} \sum_{n\le x} i^{\Omega(n)} + \text{Im} \sum_{n\le x}i^{\Omega(n)}, $$et maintenant on peut utiliser Selberg - Delange. Cela montrera une expansion asymptotique pour$\sum_{n\le x} i^{\Omega(n)}$, et le terme principal de l'asymptotique est $$ C x (\log x)^{i-1}, $$ pour une constante appropriée $C$. Ainsi, vous pouvez trouver une asymptotique pour votre somme, qui sera de la forme$$ A \cos(\log \log x) \frac{x}{\log x} + B \sin(\log \log x) \frac{x}{\log x}, $$ pour des constantes appropriées $A$ et $B$. Bizarre! Mais alors vous regardez aussi un objet bizarre!