Généraliser l'équation binomiale

Question

Je me demande si généraliser le cas $p=2$ nous avons pour $1<p<\infty$ qu'il y a une constante $c(p,l)$ tel que pour tous $(z_j)$ avec $z_j \in \mathbb C$ cette

$$\left\lvert \left\lvert \sum_{j=1}^l z_j \right\rvert^p - \sum_{j=1}^l \left\lvert z_j \right\rvert^p \right\rvert \le c(p,l) \sum_{j \neq k} \vert z_j \vert \vert z_k \vert^{p-1}$$

dans le cas $p=2$ Je peux clairement voir que ça tient, mais ici, je ne sais pas.

Answer 1

Supposons que pas tout $z_i$sont nuls. Sans perte de généralité, supposons que$z_1$ a la valeur absolue la plus élevée et, par homogénéité, supposons que $|z_1| = 1$. Laisser$\delta = \sum_{j \geq 2} |z_j|$, donc $\delta \leq l-1$, et notez que l'ERS de l'inégalité souhaitée est au moins $c(p, l)\delta|z_1|^{p-1} = c(p, l)\delta$.

Trouvons des bornes sur les deux sommes de la LHS en termes de $\delta$. Pour la première somme, par l'inégalité triangulaire, nous avons toujours$0 \leq \left|\sum z_j\right|^p \leq (1 + \delta)^p$, et quand $\delta \leq 1$, nous avons $(1 - \delta)^p \leq \left|\sum z_j\right|^p$ainsi que. Maintenant, pour tout$\delta$ nous avons $$(1 + \delta)^p - 1 = \int_0^\delta p(1 + x)^{p-1} \,dx \leq \delta p(1 + \delta)^{p-1},$$ et quand $\delta \leq 1$, $$1 - (1 - \delta)^p = \int_0^\delta p(1 - x)^{p-1} \,dx \leq \delta p \leq \delta p (1 + \delta)^{p-1}$$ aussi bien, d'où $|\left|\sum z_j\right|^p - 1| \leq \delta p(1 + \delta)^{p-1}$ dans tous les cas.

L'autre somme satisfait $1 \leq \sum |z_j|^p \leq \sum |z_j| \leq 1 + \delta$, Par conséquent $\left| \sum |z_j|^p - 1\right| \leq \delta$, il s'ensuit donc que la LHS de notre inégalité souhaitée est limitée par $\delta p(1 + \delta)^{p-1} + \delta \leq pl^{p-1}\delta + \delta$. Puisque notre RHS était au moins$c(p, l)\delta$, il suffit de prendre $c(p, l) = pl^{p-1} + 1$.

Ce choix de $c(p, l)$est probablement loin d'être optimale. Dans le cas où tout$z_j = 1$, on voit ça $c(p, l)$ doit être au moins $\approx l^{p-2}$, et je suppose que c'est plus proche de l'optimum.