Généraliser une surface intégrale à 4 dimensions
J'essaie d'évaluer une intégrale de surface, mais au lieu d'utiliser une surface dans $\mathbb{R}^3$, en utilisant une surface dans $\mathbb{R}^4$.
C'est-à-dire,
$\oint_S f(x,y,z,w)\,dS$, où S est donné par certains $r(u,v,t) = \left( x(u,v,t) , y(u,v,t) , z(u,v,t) , w(u,v,t)\right)$
Donc, comme une intégrale de ligne a un $|r'(t)|$, une intégrale de surface a un facteur de $|r_u \times r_v|$, J'ai lu une généralisation de cela en utilisant la racine carrée d'une matrice de Gramian, dont je n'avais jamais entendu parler avant de la rechercher maintenant, mais je ne sais pas comment la calculer exactement pour une fonction paramétrique de $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$, comme nous l'avons ici pour $r(u,v,t)$.
Quelqu'un peut-il m'aider avec cette évaluation? S'agit-il d'intégrer des formes différentielles et des variétés? Je connais un peu la géométrie différentielle, mais pas beaucoup.
Comment évaluer ces intégrales et quel est le $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$ analogue de $|r_u \times r_v|$ ?
Réponses
Si vous souhaitez en savoir plus sur le paramètre général, jetez un œil à ma réponse précédente sur l' intégration à l'aide d'éléments de surface et de volume . La$|r'(t)|$ et $|r_u \times r_v|$ vous mentionnez pour les intégrales de ligne et de surface (dans $\Bbb{R}^3$) sont simplement la racine carrée de la matrice Gramienne déterminante (je vous laisse le soin de vérifier cela).
Dans votre cas particulier, depuis $S$ se trouve à l'intérieur d'un espace euclidien, nous pouvons lui donner la métrique riemannienne induite (c'est-à-dire que nous pouvons prendre des produits point / interne de vecteurs qui sont tangents à la surface $S$). Alors, voici ce que nous faisons: d'abord nous allons construire un$3\times 3$ fonction à valeur matricielle $G$ comme suit: \begin{align} G &= \begin{pmatrix} \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial u}\right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial t}\right\rangle \\ \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial u} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle\\ \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial u} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle \end{pmatrix} \end{align} Notez qu'il s'agit d'une fonction matricielle, ce qui signifie que pour chaque $(u,v,t)$, $G(u,v,t)$ est un $3\times 3$- matrice symétrique de nombres obtenue en évaluant toutes les dérivées partielles ci-dessus au point $(u,v,t)$.
Puisque le produit intérieur est symétrique: $\langle v,w\rangle = \langle w,v\rangle$ (et dans le cas de ce produit intérieur euclidien, il est juste $\sum_i v^iw^i$), il s'ensuit que $G$est une matrice symétrique, donc si vous devez réellement calculer un exemple spécifique, vous n'avez qu'à calculer la partie triangulaire supérieure. À titre d'exemple très explicite, le$(1,3)$ l'entrée de cette matrice est \begin{align} \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle &= \dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial t} + \dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial t} + \dfrac{\partial w}{\partial u}\dfrac{\partial w}{\partial t}. \end{align} Maintenant, supposons que la paramétrisation soit $r:A\subset \Bbb{R}^3\to r[A] = S\subset\Bbb{R}^4$. Ensuite,\begin{align} \int_S f \, dS &= \int_A f\circ r \cdot \sqrt{\det G} \\ &\equiv \int_A f(r(u,v,t)) \cdot \sqrt{\det[G(u,v,t)]}\, du\,dv\,dt. \end{align} (où $\equiv$signifie «même chose dans une notation différente»). Maintenant, cette triple intégrale sur$A\subset \Bbb{R}^3$ peut être calculé par exemple en utilisant le théorème de Fubini.