GIT et singularités

Question

Laisser $G$ être un groupe réducteur complexe agissant sur une variété affine complexe $X$ et laissez $X // G = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[X]^G$ être le quotient GIT.

Y a-t-il une relation entre le lieu singulier de $X$ et celle de $X // G$?

Bien sûr, $X//G$ peut être très singulier alors que $X$est lisse. Mais, par exemple, je me demandais si (ou dans quelles conditions) des points singuliers de$X$ sont mappés à des points singuliers de $X // G$.

Éditer. Le gentil commentaire de Spenser ci-dessous montre que la réponse à cette dernière est non. Mais peut-être une question meilleure et plus précise est: si$X // G$ est non singulier à $y$, y a-t-il un non-singulier $x \in X$ mappage vers $y$? En d'autres termes, toutes les fibres de$X \to X // G$ aux points non singuliers contiennent un point non singulier de $X$? Je suis prêt à assumer l'irréductibilité ou d'autres propriétés intéressantes.

Answer 1

Ceci est une réponse à la question révisée. C'est le contre-exemple le plus simple auquel je puisse penser où le groupe réducteur est lisse et connecté, où$X$ est normal et affine, et où $Y=X//G$ est lisse, même s'il y a des fibres de la carte de quotient qui sont contenues dans le lieu singulier de $X$.

Laisser $Y$ être $\text{Spec}\ k[x,y,z]$, c'est-à-dire affine $3$-espace. Laisser$G$ être le groupe multiplicatif d'unités, $G=\text{Spec}\ k[u,u^{-1}]$. Laisser$X$ être $\text{Spec}\ k[x,y,z,s,t,t^{-1}]/\langle f \rangle$ où $f$ est le polynôme, $$f=s^2+t(xz-y^2).$$ Laisse l'action de $G$ au $X$ être défini par $$\mu:G\times_{\text{Spec}\ k} X \to X, \ \ \mu(u,(x,y,z,s,t)) = (x,y,z,us,u^2t). $$ L'anneau de $G$-invariant polynomials est le sous-rang, $$k[X]^G = k[x,y,z].$$ La carte de quotient n'est que la projection habituelle, $$q:X\to Y, \ \ q(x,y,z,s,t) = (x,y,z).$$ Pour le Zariski dense ouvert $U = D(xz-y^2)\subset Y$, l'image inverse $q^{-1}(U)$ est un $G$-torseur sur $U$.

Le lieu singulier de $X$ est le single $q$-fibre, $q^{-1}(0,0,0)$. Même si l'origine est un point lisse de$Y$, chaque point de ceci $q$-fiber est un point singulier de $X$.