Groupes non solubles minimaux

Question

Par «groupe minimal non soluble», j'entends un groupe non soluble dont tous les sous-groupes propres sont solubles.

J'ai besoin d'une preuve ou d'un contre-exemple pour la proposition suivante:

Laisser $G$être un groupe non résoluble minimal fini. Ensuite, l'un des événements suivants se produit:

(une) $G$ est un groupe simple non abélien fini;

(b) $G$ a un sous-groupe normal d'ordre premier $N$, de telle sorte que le groupe quotient $\dfrac{G}{N}$ est un groupe simple non abélien fini.

Merci d'avance

Answer 1

Ce n'est pas vrai. Un contre-exemple est une extension non fractionnée$2^3.L_3(2)$ d'un groupe d'ordre abélien élémentaire $8$ par le groupe simple ${\rm SL}(3,2)$.

ensuite $G$ a un sous-groupe normal $N$ avec $G/N$ simple, mais $N$ n'a pas d'ordre premier.