Homomorphisme $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

Question

Je pense que c'est juste un abus de notation, mais je veux être sûr.

Considérez l'homomorphisme de groupe $\phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, où $\mathbb{Z}$ est un groupe sous addition d'entiers et $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$et définir $\phi(x) = x \text{ (mod $3$)}$.

La notation $x \text{ (mod $3$)}$ne m'est pas familier. Je sais que ce que cette fonction essaie de véhiculer est de "prendre le reste de$x$ en divisant par $3$, "mais je ne l'ai jamais vu écrit de cette façon. La preuve qu'il s'agit en fait d'un homomorphisme semble similaire: \ begin {align *} \ phi (x + y) = (x + y) \ text {(mod$3$)} = x \ texte {(mod $3$)} + y \ text {(mod $3$)}. \ end {align *} Non seulement il abuse de la notation, mais il utilise le fait que dans$\mathbb{Z}_3$, nous avons $\overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b}$, et traite donc $x$ et $y$non pas comme des entiers (éléments d'une classe d'équivalence) mais comme des représentants de la classe elle-même. Là encore, peut-être que nous mappons dans une classe d'équivalence, de sorte que le mappage peut être traité comme$x \mapsto [x]$.

Ma question est la suivante: est-ce que j'interprète cela correctement? Est-ce un abus de notation? Y a-t-il une meilleure façon d'écrire cela?

Answer 1

Les informaticiens et les ingénieurs en logiciel ont tendance à utiliser l'expression "$m \text{ mod } n$"pour ce que les mathématiciens pourraient appeler" le moindre résidu de $m$ mod $n$"Ici, pour être vraiment formel, le" moindre résidu "est la section (uniquement théorique des ensembles, pas un homomorphisme) de la surjection $$ \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $$ qui prend la classe d'équivalence $[a]$ au moins entier non négatif $b$ ce qui équivaut à $a$ mod $n$.

Cet abus de notation est rarement préjudiciable, bien qu'il amène les gens à se confondre; par exemple, est-il vrai que "2 mod 4 + 3 mod 4 équivaut à 5 mod 4"?

Answer 2

Alors tout d'abord si $x\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{Z}, n>1$ puis "$x\text{ mod }n$"est, comme vous l'avez bien noté, le rappel de $x$ une fois divisé par $n$.

Maintenant $\mathbb{Z}_n$ peut être (et est souvent) défini littéralement comme $\{0,1,\ldots,n-2,n-1\}$, c'est-à-dire l'ensemble de tous les entiers entre $0$ et $n-1$. Ensuite, nous définissons

$$x\oplus y:=(x+y)\text{ mod n}$$

où "$x+y$"est l'addition d'entiers standard. Il s'agit d'une opération binaire bien définie sur $\mathbb{Z}_n$ et ça tourne $(\mathbb{Z}_n,\oplus)$dans un groupe abélien. Et en fait il y a un épimorphisme de groupe

$$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_n$$ $$x\mapsto x\text{ mod }n$$

On peut montrer que le noyau de cet épimorphisme est $n\mathbb{Z}$ et donc par le premier théorème d'isomorphisme notre $\mathbb{Z}_n$ groupe est en fait isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Par conséquent, nous pouvons en quelque sorte remplacer "$x\text{ mod }n$" avec "$x+n\mathbb{Z}$" et vice versa.

Et tant d'auteurs utilisent ces symboles de manière interchangeable. Ce qui, je suis d'accord, peut prêter à confusion.