(Hyper) volume du demi (hyper) cube

Question

Le demihypercube est formé en prenant la coque convexe de l'ensemble des points en$\{0, 1\}^n$ avec un nombre pair de $1$s. Il peut être considéré comme prenant un hypercube et coupant "tous les autres" vertex.

Exemples

Par exemple, le $3$-demihypercube (qui est aussi un tétraèdre régulier) peut être décrit avec des sommets $(0,0,0)$, $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, et $(1,1,0)$.

le $4$-demicube est le $16$-cell .

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Question

Quel est l'hypervolume du demihypercube sous cette construction?

(Je n'ai pas trouvé cette information sur Wikipedia ou ailleurs, et je suis curieuse à ce sujet en partie parce qu'elle est liée à ma question "https://math.stackexchange.com/q/3813522/121988".)

Answer 1

Cela pourrait être une approche naïve.

Le demi-cube est le cube mais, comme vous l'avez dit, avec $2^n/2=2^{n-1}$de ses sommets "coupés". Combien coupons-nous à chaque fois? Nous avons coupé un simplexe couvert par les vecteurs de base standard$e_1,...,e_n$, dont le volume est $1/n!$.

Ainsi, le demi-cube (construit à partir du cube de longueur d'arête 1) devrait avoir un volume

$$V_n = 1-\frac{2^{n-1}}{n!}.$$

Ce n'est pas tout à fait ce que vous avez dans votre réponse. Mais peut-être que la différence tient à l'échelle du cube initial.

Answer 2

Comme l'a commenté Jean Marie , la formule apparaît au bas de la page 26 dans l' article "Le produit volumique de corps convexes avec de nombreuses symétries hyperplans" de Franck Barthe et Matthieu Fradelizi:

Le demihypercube est obtenu à partir du cube en coupant $2^{n-1}$ simplicies dont les sommets sont un sommet $x \in \{-1; 1\}^n$ du cube tel que $\prod x_i = -1$ et son $n$voisins. Ils ont un angle droit à$x$ et la longueur des arêtes passant par ce sommet sont $2$ Donc $$ |DH_n| = 2^n - 2^{n-1} \times \frac{2^n}{n!} = 2^n\left(1 - \frac{2^{n-1}}{n!}\right). $$

A noter, les auteurs définissent le demihypercube sur la coque convexe des points avec des coordonnées de $\{-1, 1\}$, donc pour obtenir le volume de la construction dans la question, divisez par un facteur de $2^n$, cédant $$ 1 - \frac{2^{n-1}}{n!}. $$

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Edit: la citation originale que j'avais tirée du papier donnait le volume produit , pas le volume comme j'avais demandé dans la question. Cette réponse a été corrigée pour refléter cela.