idéaux à norme fixe dans un domaine de Dedekind

Question

Étant donné un domaine général de Dedekind$R$est-il vrai qu'il existe au plus un nombre fini d'idéaux premiers de$R$avec la même norme donnée ? Par « norme », j'entends l'indice de l'idéal dans$R$, supposé fini.

Answer 1

On a le résultat général suivant :

Théorème (Gilmer--Heinzer): Soit$R$être un anneau de Noether. Alors, il n'existe qu'un nombre fini d'idéaux$I$de$R$tel que$|R/I|\leqslant n$pour tout nombre naturel$n$.

Pour une preuve on peut voir [1]. Pour une discussion plus tranquille, voir [2, Pg. 15].

[1] Gilmer, R. et Heinzer, W., 1992. Produits d'anneaux commutatifs et zéro dimensionnalité . Transactions de l'American Mathematical Society, 331(2), pp.663-680.

[2] Anderson, DF et Dobbs, D. eds., 1995. Anneaux commutatifs à zéro dimension (Vol. 171). Presse CRC.