Idempotent central primitif

Question

Je lis la preuve de ce théorème et il y a une partie qui me dérange un peu. Le théorème et la preuve de cette partie (mis en évidence), sont ci-dessous.

Preuve de la partie mise en évidence:

La définition, donnée dans le texte, de l'élément idempotent central primitif $e$ est si $e$ est central et n'a pas de décomposition appropriée en tant que somme d'éléments idempotents centraux orthogonaux.

La partie qui me trouble c'est que je ne vois pas comment $e = e e_i + e(1-e_i)$ implique que $ee_i = e_i$ ou $ee_i = 0$. Il semble que l'auteur utilisait le fait que$e$ est un idempotent central primitif pour conclure ceci mais dans l'énoncé nous supposons seulement $e$ est un idempotent central.

Supposons également que $e$ est un idempotent central primitif, alors $e = e e_i + e(1-e_i)$ impliquerait que soit $ee_i = 0$ ou $e(1-e_i) = 0 $ mais cela impliquerait que $e = ee_i$ bien que.

Peut-être que je manque quelque chose d'insignifiant ici mais je ne le vois pas.

Merci à tous.

Answer 1

Je ne sais pas si l'auteur a une faute de frappe ou si c'est moi qui manque quelque chose, mais nous pouvons écrire

$$e_i=ee_i+(1-e)e_i.$$

C'est une somme d'idempotents centraux orthogonaux, et depuis $e_i$est primitif, l'un des termes est zéro. Ainsi soit$ee_i=0$ ou $(1-e)e_i=0$, dans quel cas $e_i=ee_i$.