intégration de contour avec dogbone, coupe de branche

Question

Calculez l'intégrale suivante

$\frac {1}{2\pi i} \int_{|z|=2} \frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}dz$

Prendre une succursale de $\sqrt{z^2-1}$, satisfaisant $\sqrt{z^2-1}>0$ pour $z>0$

J'ai essayé ce problème avec un contour 'dogbone' et j'obtiens,

$\int_C \frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}dz = -2\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-3}dx $ ----------- (considérant que les intégrations aux points de branchement ont tendance à zéro lorsque $\epsilon$ va à zéro)

Après cela, je suis resté car je ne peux pas utiliser le théorème intégral de Cauchy car la singularité est en dehors du domaine. Veuillez donner une idée de ce genre de problème. Je sens que je fais mal. Et je veux connaître la bonne figure pour le contour.

Answer 1

Pour $R>3$, Le théorème intégral de Cauchy garantit que

$$\begin{align} \oint_{\text{Dogbone}}\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}\,dz&=\oint_{|z|=2}\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}\,dz\\\\ &=\oint_{|z|=R}\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}\,dz-2\pi i \text{Res}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3},z=3\right)\\\\ &=-2\pi i \text{Res}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3},z=\infty\right)-2\pi i \text{Res}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3},z=3\right) \end{align}$$

où l'intégrale autour du contour de l'os du chien est prise dans le sens antihoraire.

Le résidu à l'infini de$f(z)=\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}$ est égal au résidu à $z=0$ de $-\frac1{z^2}f\left(\frac1z\right)=\frac{\sqrt{1-z^2}}{z^2(3z-1)}$. Par conséquent, nous avons

$$\begin{align} \text{Res}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3},z=\infty\right)&=\text{Res}\left(-\frac1{z^2}\frac{\sqrt{1/z^2-1}}{1/z-3},z=0\right)\\\\ &=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\left(\frac{\sqrt{1-z^2}}{3z-1} \right)\\\\ &=-3 \end{align}$$

et le résident à $3$ est $2\sqrt 2$.

Par conséquent, nous trouvons que

$$\oint_{\text{Dogbone}}\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}\,dz=2\pi i (3-2\sqrt 2)$$

où nous avons tacitement sélectionné la branche de la racine carrée sur laquelle $\sqrt{z^2-1}$ est de signe positif lorsque $z\in \mathbb{R}$, $z>1$.

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ Calculez l'intégrale suivante:$\ds{\bbox[5px,#ffd]{% \int_{\verts{z} = 2}{\root{z^{2} - 1} \over z - 3}\, {\dd z \over 2\pi\ic}}}$. Je choisirai les principales branches de$\ds{\root{z \pm 1}}$. À savoir,$$ \left\{\begin{array}{rcl} \ds{\root{z \pm 1}} & \ds{=} & \ds{\root{\verts{z \pm 1}}\expo{\ic\arg\pars{z \pm 1}}} \\[1mm] \ds{\arg\pars{z \pm 1}} & \ds{\in} & \ds{\pars{-\pi,\pi},\qquad z \not= \mp 1} \end{array}\right. $$ Le chemin ci-dessus $\ds{\braces{z\ \mid\ \verts{z} = 2}}$ne renferme aucun poteau.

---

• Une fois que les coupes de branche sont mises en place, nous devons ajouter les contributions des chemins légèrement au-dessus et en dessous des coupes.

• Une fois cela fait, l'intégrale est évaluée le long d'un contour fermé : elle disparaît.

• Bien sûr, nous devons soustraire l'ajout précédent $\ds{\pars{~\mbox{see the first}\ \bullet\ \mbox{above}~}}$. \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{% \int_{\verts{z} = 2}{\root{z^{2} - 1} \over z - 3}\, {\dd z \over 2\pi\ic}} = \int_{\verts{z} = 2} {\root{\pars{z + 1}\pars{z - 1}} \over z - 3}\, {\dd z \over 2\pi\ic} \\[5mm] = & \require{cancel} \cancel{-\int_{-2}^{-1}{\pars{\root{-x - 1}\expo{\ic\pi/2}} \pars{\root{1 - x}\expo{\ic\pi/2}} \over x - 3}\, {\dd x \over 2\pi\ic}}\label{1}\tag{1} \\[2mm] & -\int_{-1}^{1}{\root{x + 1} \pars{\root{1 - x}\expo{\ic\pi/2}} \over x - 3}\, {\dd x \over 2\pi\ic} \\[2mm] & -\int_{1}^{-1}{\root{x + 1} \pars{\root{1 - x}\expo{-\ic\pi/2}} \over x - 3}\, {\dd x \over 2\pi\ic} \\[2mm] & \cancel{-\int_{-1}^{-2}{\pars{\root{-x - 1}\expo{-\ic\pi/2}} \pars{\root{1 - x}\expo{-\ic\pi/2}} \over x - 3}\, {\dd x \over 2\pi\ic}}\label{2}\tag{2} \\[5mm] = & -\,{1 \over \pi}\int_{-1}^{1} {\root{1 - x^{2}} \over x - 3}\,\dd x = \bbx{3 - 2\root{2}} \approx 0.1716 \\ & \end{align}Les intégrales dans les lignes (\ ref {1}) et (\ ref {2}) s'annulent. Cela se produit parce que les coupes de branche combinées laissent une branche coupée$\ds{\bracks{-1,1}}$.