Involution de liège d'Akbulut

Question

Le liège d'Akbulut est le collecteur Mazur $W$ montré dans l'image ci-dessous,

Cette variété porte une involution de sa frontière $f:\partial W\to \partial W$ qui échange un méridien de la courbe en 0 avec un méridien de la courbe en pointillé.

Dans Akbulut - 4-variétés , l'auteur dit que$f$est lié à la réalisation de chirurgies pour échanger le point avec le nœud à 0. Je ne comprends pas comment cela se rapporte à$f$ et comment $f$ est défini.

Nous pouvons sûrement effectuer deux chirurgies (une le long d'un cercle et une le long d'une sphère 2) pour obtenir un nouveau collecteur 4 $\tilde{W}$qui a un diagramme de Kirby obtenu en échangeant le point et le zéro dans l'image ci-dessus. Cependant, la chirurgie n'affecte pas la frontière, donc je ne vois pas comment cela pourrait induire une carte non triviale entre les limites.

Précisément comment $f$ défini?

Answer 1

La limite de W peut être décrite comme une chirurgie à cadre 0 sur les deux composants du lien que vous avez dessiné. Le lien peut être dessiné de manière plus symétrique, de sorte qu'il soit clair qu'il y a une involution interchangeant les deux composants. Voir par exemple la figure 4 de l'article d'Akbulut, A solution to a conjecture of Zeeman , Topology 30 (1991, 513-515. Cette involution induit une involution sur la variété surgerée qui intervertit les deux méridiens.

Si vous ne vous souciez pas que le difféomorphisme sur la frontière soit une involution, vous pouvez simplement faire une isotopie en échangeant les composants.