Joueurs et billets
Vous faites partie des N joueurs qui joueront une compétition. Une loterie est utilisée pour déterminer le placement de chaque joueur. Vous avez un avantage. Deux tickets avec votre nom sont mis dans un chapeau, tandis que pour chacun des autres joueurs, un seul ticket avec son nom est mis dans le chapeau. Le chapeau est bien secoué et les billets sont tirés un par un du chapeau. L'ordre des noms apparaissant détermine le placement de chaque joueur. Quelle est la probabilité que vous obteniez le$n$e placement pour $n = 1, 2, . . . , N$?
La probabilité que mon nom soit tiré à $k$e tentatives est $\frac{2}{N}(\frac{N-2}{N})^{k-1}$ (c'est-à-dire dire $k-1$ échecs avant le premier succès à $k$). Je sais que la solution est$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2}{2+N-n}\frac{N-k}{2+N-k}$.
Laisser $A_i$ être l'événement auquel mon nom apparaîtra $i$e tentatives. Alors:
$\mathbb{P}(A_1)=\frac{2}{N+1}$;
$\mathbb{P}(A_2)=\mathbb{P}(\bar{A_1})\mathbb{P}(A_2|\bar{A_1})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{2}{N})$
$\mathbb{P}(A_3)=\mathbb{P}(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})\mathbb{P}(A_3|\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{N-2}{N})(\frac{2}{N-1})$.
Ainsi j'ai pensé que
$\mathbb{P}(A_n)=(\frac{N-1}{N+1})\cdot (\frac{N-2}{N})\cdot ... \cdot (\frac{N-n-1}{N+1-n})\cdot (\frac{2}{N-n})$
mais je ne peux pas me conduire au produit ci-dessus. Où ai-je tort?
Réponses
J'obtiens (presque) le même résultat que vous, sous l'hypothèse "Une fois qu'un nom a été dessiné et placé, tous les futurs billets portant ce nom sont ignorés":
$(\color{green}{\text{green part edited}})$ $$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{N-1}{N+1}\right)\cdot \left(\frac{N-2}{N}\right)\cdot ... \cdot \color{red}{\left(\frac{N-n+1}{N+3-n}\right)}\cdot \left(\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\right),$$
il y a $n-1$ termes traitant du premier $n-1$tirages infructueux et le dernier avec le tirage au sort réussi. Les dénominateurs diminuent de 1 dans chaque facteur, car le nombre de billets à tirer diminue de 1 après chaque tirage. Pour le premier$n-1$ termes (les tirages non réussis), l'énumérateur diminue également de 1, de sorte que la différence entre le dénominateur et l'énumérateur sera toujours $2$ dans ces termes (représentant vos 2 billets).
Ce résultat peut être écrit comme
$$\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{N-k}{N+2-k}.$$
Votre "solution connue" donne le produit vide pour $n=1$, donc cela signifierait la probabilité 1, ce qui n'est évidemment pas correct. Veuillez donc vérifier si vous l'avez copié correctement.
Votre solution se simplifie considérablement. Pour une raison quelconque, \ cancel ne fonctionne pas, j'ai donc essayé d'indiquer ce que je veux dire en affichant les termes qui annulent dans la même couleur. Je ne peux malheureusement montrer les premiers termes que de cette façon.
$$\frac{\color{red}{N-1}}{N+1}\frac{\color{blue}{N-2}}{N} \frac{\color{green}{N-3}}{\color{red}{N-1}} \frac{\color{orange}{N-4}}{\color{blue}{N-2}}\dots $$
Voici une meilleure façon de le faire.
Laisser $1\leq n\leq N$être donné.
Laisser$A$ être l'événement que votre nom est sur le $n$e billet. Laisser$B$ que l'événement que vous nommez ne figure sur aucun des billets $1,2,\dots,n-1$. Nous cherchons$\Pr(A\cap B)$.
$$\Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B|A) = \boxed{\frac2{N+1}\frac{N+1-n}{N}}$$
Le premier terme est évident. Pour le second, il y a$N$ les endroits où peut se trouver l'autre billet portant votre nom, et $N+1-n$ d'entre eux viennent après le $n$e billet.
Si vous effectuez la simplification décrite ci-dessus, vous arriverez à cette réponse simple.
Peut-être que je ne comprends pas comment cette expérience de probabilité est menée, mais j'obtiens une réponse différente de celle de tout le monde. Peut-être que quelqu'un peut expliquer pourquoi mon raisonnement est incorrect, le cas échéant?
Supposons qu'une fois que le nom d'un joueur a été choisi, tous les futurs billets portant ce nom sont ignorés.
Le nombre de façons dont les billets peuvent être tirés afin que votre nom apparaisse dans le $n^{th}$ la fente est ${2 \choose 1} \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)!$
Le nombre de façons dont les billets peuvent être tirés au total est de ${2 \choose 1}\cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N!$
La division de ces deux donne la probabilité convoitée de $$\frac{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)! }{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N! }=\frac{1}{N}$$
Pour voir cela, nous pouvons regarder un exemple spécifique. Supposons que vous soyez la personne n ° 1 jouant à une loterie avec$N-1=2$ d'autres personnes et $ \{1,1^*\} $ représente vos deux tickets contributifs sur $N+1=4$billets dans le chapeau. Nous désignerons la collecte de tous les billets dans le chapeau par$\{1,1^*,2,3\}$. On peut tout lister${2 \choose 1}\cdot {{3-1} \choose {3-1}} \cdot 3!=12$ ordre possible des noms explicitement: $$\{1,2,3\}, \{ 1,3,2\}, \{ 2,1,3\}, \{ 3,1,2\}, \{2,3,1 \},\{3,2,1 \}$$ $$\{1^*,2,3\}, \{ 1^*,3,2\}, \{ 2,1^*,3\}, \{ 3,1^*,2\}, \{2,3,1^* \},\{3,2,1^*\}$$ La probabilité que vous soyez affecté au $n^{th}$ le placement est $ \frac{1}{N}=\frac{1}{3}$ pour $n=1,2,3$ ce qui a un sens pour moi.