La condition initiale d'une séquence converge satisfaisant une relation de récurrence simple

Question

Laisser $a_n$ être une séquence telle que $a_1 = r$ est un nombre réel positif et pour chaque $n=1, 2, 3, \ldots$ $a_{n+1} = \frac{a_n^2}{n!}$. Notez qu'il y a un nombre positif$\gamma$ de sorte que $r<\gamma$ implique la convergence de la séquence et $r>\gamma$ implique la divergence de la séquence.

QUESTION 1. Déterminez ce qui se passe si $r=\gamma$.

QUESTION 2. Essayez de trouver certaines caractéristiques du nombre $\gamma$. Par exemple, pouvez-vous déterminer si$\gamma$ est rationnel ou pas?

Je faisais un exercice qui demande si les élèves peuvent gérer le principe d'induction pour prouver certaines propriétés de séquence définies par une relation de récurrence. Par exemple si$r=2$, la séquence ci-dessus converge vers zéro et montrer que c'est un exercice facile. Si$r=3$, la séquence ci-dessus diverge à l'infini et pour montrer qu'il s'agit d'un exercice moyennement difficile. Ces deux exercices peuvent être effectués sans aucune linéarisation.

Bien que ces exercices soient couronnés de succès, peu de temps après, une question s'est posée sur la propriété de $\gamma$comme décrit ci-dessus. J'ai fait quelques petits efforts mais je n'arrive pas à trouver les réponses.

Prendre du temps. Cette question n'est pas très urgente. J'ai écrit ce post juste par curiosité. A mon avis, le nombre$\gamma$ n'ont aucune importance mathématique et il est peut-être inutile de répondre à la troisième question.

Pour votre commodité, j'ai mis quelques informations que j'ai trouvées. On peut facilement trouver l'expression$$ a_n = \left( \frac{r}{\exp \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\ln k!}{2^k}} \right)^{2^{n-1}} $$ en linéarisant la relation en prenant le logarithme qui affirme que l'expression du nombre $$ \gamma = e^{\sum_{k=0}^\infty \frac{\ln k!}{2^k}} \approx 2.7612$$

En souhaitant votre bonne journée, merci beaucoup pour votre attention.

Answer 1

Vous avez presque la réponse! (et merci d'avoir posé la question sous une forme aussi utile) Notez que lorsque$r=\gamma$, puis ta formule pour $a_n$ donne $$ \log a_n = 2^{n-1} \bigg( \log \gamma - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\ln k!}{2^k} \bigg) = 2^{n-1} \sum_{k=n}^\infty \frac{\ln k!}{2^k} > \frac12\ln n! $$ (puisque les termes sont tous non négatifs), qui tend à l'infini avec $n$. Donc$a_n$ diverge quand $r=\gamma$.

Pour ce qui est de $\gamma$ elle-même, vous pouvez vérifier que la formule donnée est équivalente à \begin{align*} \gamma = \prod_{k=2}^\infty (k!)^{1/2^k} &= \prod_{k=2}^\infty \prod_{j=2}^k j^{1/2^k} \\ &= \prod_{j=2}^k j^{\sum_{k=j}^\infty 1/2^k} = \prod_{j=2}^\infty j^{1/2^{j-1}} = 2^{1/2}3^{1/4}4^{1/8}5^{1/16}\dots. \end{align*} J'imagine que c'est un nombre transcendantal (donc irrationnel), mais ce n'est certainement pas facile à prouver.