La preuve que $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ iff $f$ est injectif

Question

J'ai l'intention de montrer que $f\colon X\to Y$ est injectif pour toutes les familles $(A_{\lambda})_{\lambda\in L}$ de sous-ensembles de $X$ nous avons $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$.

Premièrement, prouvons que pour $f\colon X\to Y$et $A\subset X$, $f$ est injectif ssi $A= f^{-1}(f(A))$

Preuve. ($\Rightarrow$). Par contradiction. Si$f$ est injectif, alors pour tout $x_1,x_2\in X$ nous avons $x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2)$. Choisir$x_1\in A\subseteq X$ et $x_2 \in X\setminus A$, il est évident que $f(x_1)\in f(A)$ e $f(x_2)\in f(X\setminus A)$. Puis chaque$y\in f(A)$, car $f$ est injectif, correspond à un point unique $x\in A\subseteq X$ tel que $f(x)=y$. Alors pour tous$A\subseteq X$ on peut dire ça $f^{-1}(f(A))=A$. S'il y avait un élément$x_3\in X\setminus A$ tel que $f(x_3)\in f(A)$, puis $f$ ne serait pas injectif parce que $f(x_3)\in f(A)$, exactement parce qu'il est situé dans $f(A)$, devrait correspondre à certains $x_3\in A\subseteq X$. Puis l'injectivité de$f$ implique que pour tous $A\subseteq X$ nous avons $f^{-1}(f(A))=A$.

($\Leftarrow$). Par contradiction. Considérer$x_1\in A\subseteq X$ et $x_2\in X\setminus A$. ensuite$f(x_1)\in f(A)$ et $f(x_2)\not\in f(A)$. Nous avons ça$f^{-1}(f(A)) = A$, puis chaque élément de $f(A)$ correspond à un élément de $A\subseteq X$. Considérez cela$f$ n'est pas injectif, c'est-à-dire le cas où $f(x_1)=f(x_2)\in f(A)$ et $x_1\neq x_2$. Nous aurions alors$f^{-1}(f(A))\neq A$, car $x_2\not\in A$. Ensuite,$f$ est injectif.

Passons maintenant à la preuve principale.

Preuve . Preuve directe que$f$ est injectif $\iff f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$.

\ begin {align *} f (x) \ in f (\ bigcap _ {\ lambda \ in L} A_ \ lambda) & \ iff x \ in f ^ {- 1} (f (\ bigcap _ {\ lambda \ in L } A_ \ lambda)) \\ & \ iff x \ in \ bigcap _ {\ lambda \ in L} A_ \ lambda \ \ text {car $f$ est injectif} \\ & \ iff x \ in A_ \ lambda, \ text {pour tout} \ \ lambda \ in L \\ & \ iff f (x) \ in f (A_ \ lambda), \ text {pour tout } \ \ lambda \ in L \\ & \ iff f (x) \ in \ bigcap _ {\ lambda \ in L} f (A_ \ lambda) \ end {align *}

Puis-je faire ceci?

Je ne pourrais pas montrer ça si $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ puis $f$ est injectif sans utiliser le fait que $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ ne tient que si et seulement si $f^{-1}(f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda)) = \bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda$, et cela n'est vrai que si et seulement si $f$ est injectif.

Answer 1

Un argument beaucoup plus simple est possible. Il est facile de voir que c'est toujours vrai que

$$f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]$$

pour toute famille $\{A_\lambda:\lambda\in\Lambda\}$ de sous-ensembles de $X$. Supposer que$f$ est injectif, et laissez $x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]$. Puis pour chacun$\lambda\in\Lambda$ il y a un $a_\lambda\in A_\lambda$ tel que $x=f(a_\lambda)$. Réparer$\lambda_0\in\Lambda$; puisque$f$ est injectif, $a_\lambda=a_{\lambda_0}$ pour chaque $\lambda\in\Lambda$, donc $a_{\lambda_0}\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$, et $x=f(a_{\lambda_0})\in f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]$. Donc,

$$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]\subseteq f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]$$

et donc

$$f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]\,.$$

Supposons maintenant que $f$n'est pas injective. Puis il y a$x,y\in X$ tel que $x\ne y$, et $f(x)=f(y)$. Laisser$A_0=\{x\}$ et $A_1=\{y\}$; puis

$$\varnothing=f[\varnothing]=f[A_0\cap A_1]\subsetneqq f[A_0]\cap f[A_1]=\{f(x)\}\,.$$