Lien et Cohen-Macaulay-ness

Question

Supposons que j'ai un schéma lci réduit avec deux composants irréductibles :$X = Y \cup Z$. Je veux dire que si$Y$est Cohen-Macaulay alors$Z$l'est aussi.

Je pense que cela découle du théorème d'Eisenbund 21.23 (qui a une faute de frappe : le premier$J = (0:_A I)$doit être supprimé). Ou de Peskine et Szpiro, « Liaison des variétés algébriques », Proposition 1.3, qui est essentiellement la même.

Ai-je bien compris ?

Answer 1

La question est locale. Alors laisse$R$être un anneau local qui est Gorenstein.$I,J\subset R$définir$Y,Z$comme dans ta question. Alors tu as une suite exacte$0\to I\to R\to R/I\to 0$et nous supposons que$R/I$est Cohen-Macaulay. Remarquez que tout$R,R/I,R/J$avoir la même dimension$d$. En dualisant, on obtient$0\to\omega_{R/I}\to R\to R/J\to 0$. Cela implique que la profondeur de$R/J\geq d-1$. En allant modulo un ensemble général de$d-1$éléments dans l'idéal maximal, on peut se ramener au cas où$d=1$. Maintenant, dualisez à nouveau pour obtenir,$0\to \operatorname{Hom}_R(R/J,R)\to R\to R/I\to\operatorname{Ext}^1_R(R/J,R)\to 0$. Il est clair par naturalité, que la carte$R\to R/I$est sur et donc ext vaut zéro. Ceci dit que la profondeur de$R/J>0$c'est ce que nous voulions.

Answer 2

Je n'ai accès à aucune de vos références mais voici, me semble-t-il, un contre-exemple. Prendre une surface quadrique lisse$Q$dans$\mathbb P^3$, une courbe lisse$C$dans$Q$du bi-diplôme$(1,3)$et une autre courbe lisse$D$dans$Q$du bi-diplôme$(3,1)$. Chacun des$C,D$est une quartique tordue dans$\mathbb P^3$. Prendre$Y,\ Z$et$X$être les cônes affines sur$C,\ D$et$C\cup D$, respectivement.$C\cup D$est un$(2,4)$carrefour complet dans$\mathbb P^3$, alors$X$est lci De plus,$X=Y\cup Z$, pendant que$Y,Z$sont des cônes sur des quartiques torsadées, donc pas Cohen--Macaulay.