Limite inférieure de Cramer-Rao pour $g(\lambda)$ = $e^{-\lambda}$ quand $x_i \sim Pois(\lambda)$

Question

Laisser $x_1 ... x_n$ être $Pois(\lambda)$, $\lambda>0$ et $n \geq 2$. Utilisation$W(X)=I(X_1=0)$ estimer $g(\lambda)=e^{-\lambda}$. Aditionellement,$T(X)= \sum_{i=1}^n X_i$ est une statistique suffisante pour $\lambda$.

J'ai déjà prouvé que $\phi(T(X))=(1-\frac{1}{n})^{\sum_{i=1}^n X_i}$ est un estimateur sans biais de $e^{-\lambda}$.

Je veux prouver si $\phi(T(X))$ atteint la borne inférieure de Cramer-Rao, mais je me perds en essayant de la calculer en appliquant la définition.

Answer 1

Tout d'abord, calculons la variance de $\phi(T(X))$:

$$\begin{align} \mathbb E[\phi(T(X))^2]&=\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{-n\lambda}(n\lambda)^k}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2k}\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{(n\lambda)^k}{k!}\left(1-\frac 2n+\frac 1{n^2}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(n\lambda-2\lambda+\frac{\lambda}{n}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\cdot e^{n\lambda-2\lambda+\frac\lambda n}\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)} \end{align}$$

Et, en utilisant le fait que $\phi(T(X))$ est impartiale:

$$\begin{align} \text{Var}(\phi(T(X)))&=\mathbb E[\phi(T(X))^2]-\mathbb E[\phi(T(X))]^2\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)}-e^{-2\lambda}\\ &=e^{-2\lambda}\cdot\left(e^{\lambda/n}-1\right) \end{align}$$

Maintenant, nous devons comparer cela à la liaison Cramér-Rao. La fonction de vraisemblance est donnée par:

$$\begin{align} \ell(\lambda)&=\sum_{i=1}^n\log\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{X_i}}{X_i!}\right)=-n\lambda + \log(\lambda)T(X)-\sum_{i=1}^n\log(X_i!) \end{align}$$

Ensuite, nous pouvons obtenir les informations Fisher:

$$\begin{align} \mathcal I_F&=-\mathbb E\left[\frac{\partial^2\ell(\lambda)}{\partial\lambda^2}\right]=\mathbb E\left[\frac{T(X)}{\lambda^2}\right]=\frac n\lambda \end{align}$$

Enfin, le Cramér-Rao à destination $g(\lambda)$ est:

$$\frac{g'(\lambda)^2}{\mathcal I_F}=\frac{e^{-2\lambda}}{n/\lambda}=\frac{\lambda}{n}e^{-2\lambda}$$

Ce qui est différent de la variance que nous avons trouvée précédemment, de sorte que l'estimateur que vous avez trouvé n'atteint pas la borne de Cramér-Rao . Vous pouvez également prouver, en utilisant le développement de Taylor, que votre estimateur est asymptotiquement efficace , c'est-à-dire que la variance de l'estimateur est asymptotiquement égale à la borne de Cramér-Rao.

J'espère que cela a été utile!