Limites et double intégrale?

Question

Déterminer la double intégrale $\int \int_{R} ye^y dxdy$, où $R$ est $1\leq x-y \leq 2,\ 1 \leq xy \leq 2$

J'ai du mal à comprendre comment je devrais penser pour atteindre les limites.

$x\ne y$ parce que $1\leq xy \leq 2$.

$x$ doit être au moins 1 plus grand que $y$ car $\ 1 \leq x-y \leq 2$.

Cela me donne $\begin{matrix} x &y \\ 2 & 1 \\ \end{matrix}$

Puis-je dire que les limites sont $0 \leq y \leq 1, 0\leq x\leq 2y$ ?

Answer 1

Vous devez intégrer plus de deux régions. Les points d'intersection sont

$(\frac{\sqrt5 + 1} {2}, \frac{\sqrt5 - 1} {2}), (2, 1), (\sqrt3 + 1, \sqrt3 - 1), (\sqrt 2 +1, \sqrt2 - 1)$

$(\frac{-\sqrt5 + 1} {2}, \frac{-\sqrt5 - 1} {2}), (-1, -2), (-\sqrt3 + 1, -\sqrt3 - 1), (-\sqrt 2 +1, -\sqrt2 - 1)$

Answer 2

Nous avons ça $R$ correspond à la bande entre les lignes

• $y=x-2$
• $y=x-1$

et les hyperboles

• $y=2/x$
• $y=1/x$

Une façon de procéder consiste à trouver les points d'intersection pour ces régions, puis à les intégrer en conséquence pour chaque pièce.