logarithme du nombre complexe

Question

Généralement pour les logarithmes Si j'ai $2^4=16$ alors ça veut dire $\log_2(16)=4$ (Ici 2 est la base)

Ainsi, la valeur du logarithme nous indique essentiellement combien de fois il faut multiplier la base du nombre.

Quand nous prenons ln, cela signifie simplement que la base est e

Maintenant commence ma question

Quel est le logarithme du nombre complexe?

Je pensais que depuis le logarithme nous dit combien de fois multiplier la base. Si je prenais le logarithme, j'obtiendrais des nombres réels Parce que peu importe le nombre, si les nombres réels sont multipliés, la réponse est réelle.

Mais le livre que j'ai dit est complexe, il a même une dérivation pour cela.

Quelqu'un peut-il expliquer les logarithmes de nombres complexes relatifs au réel ou au moins partager certaines ressources?

Je vous remercie

Answer 1

Notez qu'un nombre complexe $z$ peut être écrit comme $$z=|z|e^{i\theta}$$

Où $|x|$ désigne le module de $x$

Donc, le logarithme de $z$ serait

$$z=|z|e^{i\theta}\\ \log z=\log (|z|e^{i\theta})\\ \log z= \log{|z|+\log{e^{i\theta}}}\\ \log{z}=\log{|z|}+i\theta$$

Pour le calcul de $|z|$nous pouvons simplement utiliser le théorème de Pitagorean. Pour le calcul de$\theta$ nous pouvons utiliser le $\arctan \theta$puisque nous connaissons à la fois les côtés adjacents et opposés. Remarquerez que$\theta$ n'est pas seulement une solution, car $\tan{(\theta+2\pi n)}= \tan{\theta}$, nous avons donc en fait une branche de solutions. En dépit de ce fait, nous utilisons généralement simplement le principal, qui est celui appartenant à l'ensemble$(-\pi,\pi]$