Math for Physics - Transformée inverse de Fourier
J'ai un problème de base. Je ne parviens pas à trouver (dans Google) et à dériver sur moi-même la formule intégrale de transformée de Fourier inverse.$$Fourier\space defined:$$ $$F(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{- i \omega t} dt.$$Et maintenant, je voudrais en trouver une transformée inverse générale. Quelqu'un pourrait-il m'aider?
Le but est: $$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int \limits_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\cdot e^{ i \omega t} d\omega.$$
Réponses
Multipliez les deux côtés de votre équation pour la transformée de Fourier avec $e^{i\omega t'}$, intégrez les deux côtés avec $d\omega$et utilisez la propriété de définition de la fonction delta sur le RHS. Explicitement,$$\int d\omega e^{i\omega t'}F(\omega)=\int dt\int d\omega f(t)e^{-i\omega t}e^{i\omega t'}$$
$$\implies \int d\omega e^{i\omega t'}F(\omega)=\int dt\ f(t)\int d\omega e^{-i\omega(t-t')}=\int dt f(t)\delta(t-t')$$ $$\implies \int d\omega e^{i\omega t'}F(\omega)=f(t')$$
Notez que les facteurs de $2\pi$ dépendent de la convention (certains le diviseront également en $1/\sqrt{2\pi}$ entre la transformée de Fourier et l'inverse) donc je les ai ignorés ici, vous pouvez les remettre en normalisant correctement le $\delta$-fonction.
EDIT: Pourquoi nous avons besoin du $\delta$ fonction-
La transformée de Fourier est essentiellement un moyen d'étendre une fonction arbitraire $F(\omega)$ (qui peut être considéré comme un vecteur dans un espace vectoriel de dimension infinie) dans la base de $e^{i\omega t}$(souvent appelée «base d'onde plane»). L'analogie est, supposons que vous ayez des vecteurs de dimension finie, qui ont des composants$F_i$ dans une base donnée $\{\hat{e_i}\}$. Vous pouvez ainsi agrandir$$\vec{F}=\sum_i F_i \hat{e_i}\sim \int_t f(t)e^{i\omega t}$$
et donc le $f(t)$ doivent être considérés comme des `` composants '' de $f(\omega)$ dans le $e^{i\omega t}$base. Maintenant, dans le cas des dimensions finies, si vous deviez trouver les composants$F_i$, vous auriez besoin du produit intérieur $$F_i=\vec{F}\cdot \hat{e_i}$$
Or, le produit interne sur l'espace vectoriel (s'il existe) est complètement spécifié en écrivant le produit interne entre tous les vecteurs de base , c'est-à-dire qu'il suffit de savoir$\langle e_i|e_j\rangle=\hat{e_i}\cdot\hat{e_j}\forall i,j$. Ainsi, dans notre$F(\omega)$ cas, nous devons connaître le produit intérieur pour la base $e^{i\omega t}$, et c'est précisément ce $\delta$ la fonction est-
$$\langle e^{i\omega t}|e^{i\omega t'}\rangle\equiv \int d\omega (e^{i\omega t})^* e^{i\omega t'}=\int d\omega e^{i\omega(t'-t)}\equiv\delta(t'-t)$$
par définition. Donc,
trouver la transformée de Fourier consiste à trouver les composants dans la base de l'onde plane, et cela se trouve en définissant le produit interne des vecteurs de base, et c'est une fonction delta
Une preuve rigoureuse peut être trouvée dans la plupart des manuels sur l'analyse réelle orientée vers les mathématiciens. Voici une dérivation heuristique.\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t)d\omega&=\int_{-\infty}^\infty\left[\int_{-\infty}^\infty f(t')\exp(-\mathrm{i}\omega t')dt'\right]\exp(\mathrm{i}\omega t)d\omega\\ &=\int_{-\infty}^\infty f(t')\left[\int_{-\infty}^\infty\exp\mathrm{i}\omega(t-t')d\omega\right]dt'\\ &=2\pi\int_{-\infty}^\infty f(t')\delta(t-t')dt'\\ &=2\pi f(t) \end{align} où j'ai utilisé $$\delta(t-t')=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\mathrm{i}\omega(t-t')d\omega.$$ Par conséquent $$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t)d\omega.$$
Remarque: $\int := \int_{-\infty}^{\infty}$
Laisser $f \in L^1(\mathbb{R})$ pour que $\hat{f}(\xi) = \int f(x) \, e^{-ix\xi} \, dx$est bien défini. ensuite$$|\hat{f}(\xi)| = |\int f(x) \, e^{-ix\xi} \, dx| \leq \int |f(x)| \, dx < \infty$$ alors $\hat{f} \in L^\infty(\mathbb{R})$, mais il n'est pas certain que $\hat{f} \in L^1(\mathbb{R})$ pour que $F(y) = \int \hat{f}(\xi) \, e^{iy\xi} \, d\xi$est bien défini. Par conséquent, prenez$\alpha>0$ et multiplier $\hat{f}(\xi)$ avec $e^{-\alpha\xi^2}$ faire entrer quelque chose $L^1(\mathbb{R})$. Nous laisserons plus tard$\alpha\to 0$. Maintenant,$$ \int e^{-\alpha\xi^2} \hat{f}(\xi) \, e^{iy\xi} \, d\xi = \int e^{-\alpha\xi^2} \left( \int f(x) \, e^{-ix\xi} \, dx \right) \, e^{iy\xi} \, d\xi = \int f(x) \, \left( \int e^{-\alpha\xi^2} e^{i(y-x)\xi} \, d\xi \right) \, dx $$en changeant l'ordre d'intégration. Ici,$$ \int e^{-\alpha\xi^2} e^{i(y-x)\xi} \, d\xi = \frac{2\pi}{\sqrt{4\pi\alpha}} e^{-(x-y)^2/(4\alpha)} $$ donc l'intégrale devient $$ \int f(x) \, \frac{2\pi}{\sqrt{4\pi\alpha}} e^{-(x-y)^2/(4\alpha)} \, dx = \{ x = y+z \} = \int f(y+z) \, \frac{2\pi}{\sqrt{4\pi\alpha}} e^{-z^2/(4\alpha)} \, dz = \{ u=z/\sqrt{4\alpha} \} = \frac{2\pi}{\sqrt{4\pi\alpha}} \int f(y+\sqrt{4\alpha}u) \, e^{-u^2} \, \sqrt{4\alpha}\,du = \frac{2\pi}{\sqrt{\pi}} \int f(y+\sqrt{4\alpha}) \, e^{-u^2} \, du $$
Donc, $$ \int e^{-\alpha\xi^2} \hat{f}(\xi) \, e^{iy\xi} \, d\xi = \frac{2\pi}{\sqrt{\pi}} \int f(y+\sqrt{4\alpha}) \, e^{-u^2} \, du $$ Location $\alpha\to 0$ on a $$ \lim_{\alpha\to 0} \int e^{-\alpha\xi^2} \hat{f}(\xi) \, e^{iy\xi} \, d\xi = \lim_{\alpha\to 0} \frac{2\pi}{\sqrt{\pi}} \int f(y+\sqrt{4\alpha}) \, e^{-u^2} \, du = \frac{2\pi}{\sqrt{\pi}} \int f(y) \, e^{-u^2} \, du = \frac{2\pi}{\sqrt{\pi}} \int e^{-u^2} \, du \, f(y) = 2\pi\, f(y) $$ Si $\hat{f} \in L^1(\mathbb{R})$ cela implique $$ \int \hat{f}(\xi) \, e^{iy\xi} \, d\xi = 2\pi\, f(y). $$