Méthode des éléments finis: élément de la matrice

Question

Pour la résolution de cette équation, je ne comprends pas le calcul des éléments de la matrice (élémentaire) bien en dessous.

Le problème principal est

$$ \begin{cases} -u''(x) = f \\ u(0) = u(1) = 0 \end{cases} $$

La formulation variationnelle est $$ \int_{0}^{1} u'(x)v'(x) = \int_{0}^{1} f(x)v(x) $$ avec $v, u \in V = \left\{u \in L^2 , u' \in L^2, u(0) = u(1) = 0 \right\} = H_{0}^{1}$

Nous fixons: $$ \begin{cases} a(u,v) = \int_{0}^{1} u'v' \\ l(v) = \int_{0}^{1} fv \end{cases} $$

$x_i = ih, \quad 0 \le i \le N+1; x_{N+1} = 1 \quad \text{and} \quad x_0 = 0$

Avec l'aide de ces fonctions, nous avons la base: \ $\Phi_i(x_j) = \delta_{i,j}$ verser $0\le i<N$,

$$ \begin {cases} \Phi_i(x)=\frac {x-x_{i-1}} h \text { si }x_{i-1}\le x\le x_{i},\\ \Phi_i(x)=\frac {-x+x_{i+1}} h \text { si }x_{i}\le x\le x_{i+1},\\ \Phi_i(x)=0\text { sinon }. \end {cases} $$

$\{\Phi_i \}_{0\le i< N}$ est une base de $V_h$: $$ \forall v\in V_h,\quad v=\sum_{i=0}^{N-1}v(x_i)\Phi_i. $$ puis:

$$ \sum_{i}^{n} (u_h)_i \int_{0}^{1} \phi_i^{'}\phi_j^{'}dx = \int_{0}^{1} f\phi_j dx $$ où $(u_h)_i$ sont les coordonnées $U_h$dans la base précédente. Le système linéaire devient:

$$ A_h U_h = b_h $$

$U_h = (u_h)_i$

$$ A_h = (a_{i,j}) = \int_{0}^{1} \phi_i^{'}\phi_j^{'}dx $$

$A_h$ est une matrice tridiagonale

donc pour $i = j+1$, nous avons:

\begin{align*} (a_{i,j}) & = \int_{0}^{1} \phi_i^{'}\phi_{i-1}^{'}dx\\ & = \int_{ih}^{(i-1)h} \phi_i^{'}\phi_{i-1}^{'} dx \\ & = \int_{ih}^{(i-1)h} -\frac{1}{h}\frac{1}{h}dx \\ & = -1/h \end{align*}

Je ne comprends pas pourquoi $$ \phi_i^{'} = -\frac{1}{h} $$ ici.

dans $[x_{i-1},x_{i}] = [(i-1)h,ih]$

J'ai le même problème avec l'équation: $-u'' + u = f$ où pour $i= j+1$, nous avons:

\begin{align*} (a_{i,j}) & = \int_{0}^{1} \phi_i^{'}\phi_{i-1}^{'} + \phi_i \phi_{i-1}dx\\ & = \int_{ih}^{(i-1)h} \phi_i^{'}\phi_{i-1}^{'} + \phi_i \phi_{i-1}dx dx\\ & = \int_{ih}^{(i-1)h} -\frac{1}{h}\frac{1}{h} + \left(\frac{1}{h}x + (1-i)\right)\left(-\frac{1}{h}x + (2-i)\right)dx\\ & = \cdots \end{align*}

Pourquoi est-ce $\left(\frac{1}{h}x + (1-i)\right) = \phi_i$?

Answer 1

Pour résoudre votre premier doute, calculez simplement la dérivée de $\Phi_i$.

À propos de votre deuxième doute, remarquez juste $(1-i)=-(i-1)h/h$.