Modélisation de la probabilité conditionnelle

Question

Problème:

On nous donne trois pièces: l'une a une tête sur les deux faces, la seconde une queue sur les deux faces et la troisième une tête sur une face et une queue sur l'autre. Nous choisissons une pièce au hasard, la jetons et le résultat est face. Quelle est la probabilité que la face opposée soit pile?

Solution:

Si $p = P(\text{Two headed coin was chosen | Heads came up}) = \displaystyle{\frac{\frac 13}{\frac 12} = \frac 23}$, alors la probabilité que la face opposée soit pile est $1 − p = \displaystyle{\frac 13}$.

Nouveau dans le domaine des probabilités, aimerait voir comment cette solution fonctionne plus en détail.

Mes questions:

1.L'espace échantillon est $\{HH, HT, TT\}$. La condition que les têtes se sont levées fait référence aux éléments$\{HH, HT\}$ et le fait que la pièce à deux têtes ait été choisie fait référence à $\{HH\}$. Nous voulons la probabilité de$\{HH, HT\} \cap \{HH\} = \{HH\}$. La probabilité de choisir$HH$ est $\displaystyle{\frac 13}$par loi de probabilité uniforme. Est-ce correct?

2. Lorsque nous calculons cela $P(\text{Heads came up}) = \displaystyle{\frac 12}$, quel est l'espace échantillon? Est-ce$\{H, T\}$ ou $\{HH, HT, TT\}$? Merci.

modifier :

Je pense que je comprends enfin comment modéliser l'espace échantillon ici.

Le tirage au sort est une expérience séquentielle et l'ordre est donc important. Par exemple,$HT$ est différent de $TH$.

Notre espace échantillon est $\{H_1H_2, H_2H_1, T_1T_2, T_2T_1, TH, HT\}$.

Donc

$P(\text{two headed coin was selected $\casquette$ heads came up(in the first toss)}) = P(\{H_1H_2, H_2H_1\}) = \frac 26 = \frac 13$

par la loi de probabilité uniforme.

$P(\text{heads came up(in the first toss)}) = P(\{H_1H_2, H_2H_1, HT\}) = \frac 36 = \frac 12$ par la loi de probabilité uniforme.

Answer 1

Pour votre question 1, vous pouvez appliquer le théorème de Bayes en notant que l'événement que vous recherchez est le même que d'avoir choisi la pièce avec à la fois un H et un T, étant donné que vous avez lancé un H:

$$P(\text{coin is HT}|\text{toss H}) = \frac{P(\text{toss H} | \text{coin is HT}) \, P(\text{coin is HT})}{P(\text{toss H})}$$ et en insérant les valeurs appropriées.

Pour votre question 2 (c'est-à-dire le dénominateur ci-dessus), vous pouvez utiliser la loi de probabilité totale (LOTP) pour partitionner l'espace d'échantillon:

$$P(\text{toss H}) = P(\text{toss H} | \text{coin is HH})P(\text{coin is HH}) + P(\text{toss H} | \text{coin is HT})P(\text{coin is HT}) + P(\text{toss H} | \text{coin is TT})P(\text{coin is TT})$$

et évaluer les probabilités.