Module Hilbert terminé $C_0(\Lambda)$ comme espace de sections continues du bundle HIlbert

Question

Laisser $\Lambda$ être un multiple et $p:H\to\Lambda$ un bundle Hilbert continu avec $H(\lambda):=p^{-1}(\lambda)$. Supposer$\Gamma_0^0(\Lambda)$ est l'espace des sections continues disparaissant à l'infini de $H$. J'ai prouvé que$\Gamma_0^0(\Lambda)$ a la structure d'un $C_0(\Lambda)$ module (avec $C_0$étant l'espace des fonctions continues disparaissant à l'infini). Définir$H_{\lambda}=\Gamma_0^0(\Lambda)/\overline{K_{\lambda}}$ où $$K_{\lambda}=\text{span}\{f\varphi:\varphi\in \Gamma_0^0(\Lambda)\text{ and } f(\lambda)=0\}$$ Je suis intéressé à montrer que $H_{\lambda}$ est isomorphe à $H(\lambda)$. Est-ce que quelqu'un connaît un moyen de le prouver ou une référence avec une preuve similaire? J'ai rencontré des problèmes parce que$\overline{K_\lambda}$ n'est pas nécessairement le noyau de la carte d'évaluation de $\Gamma_0^0$ à $\mathbb{C}$. Il y a plusieurs références pointant vers des propriétés similaires à celle-ci, en fait dans Mathematical Quantization par Nik Weaver il y a un résultat similaire concernant$C(\Lambda)$ modules dans le boîtier $\Lambda$est un collecteur compact mais il n'y a aucune preuve. J'ai déjà vérifié les références fournies par Weaver et je n'ai pas trouvé de preuve.

Answer 1

La référence que j'ai citée dans mon livre est Fell and Doran, Representations of${}^*$-Algèbres, groupes localement compacts et Banach ${}^*$-Faisceaux algébriques , vol. 1 (1988). Avez-vous vérifié là-bas? Je n'ai pas d'exemplaire sous la main mais je me souviens que ce traitement était très complet.

Si cela ne fonctionne pas, vous pouvez consulter mon article avec Chris Phillips, Modules avec des normes qui prennent des valeurs dans un C${}^*$-algèbre . Le théorème 8 donne un résultat plus général sur les modules Banach / bundles Banach. Les preuves complètes ne sont pas non plus données ici, mais il y a des références spécifiques à la thèse de Takahashi, Fields of Hilbert Modules (Tulane, 1971) qui devrait combler toutes les lacunes.